M.A.A On Line
The Mathematical Association of America
Sobre la importancia central del Algebra Lineal en el curriculum
Carl C. Cowen
Expresado al recibir el premio Deborah and Franklin Tepper Haimo por enseñanza distinguida de las Matemáticas en College y Universidad, en San Diego, California, en Enero de 1997.
Traducción efectuada por José Arturo Barreto. Master of Arts. Universidad de Texas, en Barquisimeto, Venezuela, en Mayo de 2005. Mayor información sobre este y otros artículos, así como un texto de Álgebra lineal gratuito, se consigue en la Web: http://www.geocities.com/barquisimetoeducativo
INTRODUCCIÓN
Esta es una oportunidad para presentar “mis secretos” para una enseñanza exitosa, tengo pocos secretos y los conozco tan bien como para hablar de ellos por mas de unos pocos minutos.
El primer paso que una persona debe dar hacia la buena enseñanza es reconocer que buscar la excelencia en la enseñanza es un objetivo valioso. Como yo creo que la buena enseñanza es importante, estoy complacido que hoy este primer paso se está tornando mas fácil para que mucha gente lo realice. Después de decidir qué enseñar bien es importante, el próximo paso es pensar acerca de los asuntos involucrados y educarse uno mismo en las cosas que trabajan para otras personas. Estoy muy agradecido con mis colegas que modelaron la buena enseñanza, contestaron mis preguntas acerca de la manera de introducir una lección o un tema, y me animaron en mis esfuerzos por enseñar más efectivamente. Algunas de las personas que merecen mis agradecimientos son Bill Fishback y Harold Hanes de Eartham College y Guershon Harel, Jim Mc Clure, J. J. Price, y Bob Zinc de Purdue. He aprendido bastante sobre cómo enseñar matemáticas conversando con ellos, pero he aprendido aun más sobre enseñanza hablando con mi esposa Janice, quien es una profesora excepcional de Español. Finalmente, es importante conocer a los estudiantes, hablar con ellos y, especialmente, escucharlos. Llegar a conocer sus nombres, lograr que se expresen en clase y hagan preguntas, y lograr que ellos hablen fuera de la clase, también.
Los estudiantes le dirán, aun cuando no siempre directamente, qué no entienden y por lo tanto usted les puede ayudar a desarrollar sus propias respuestas a sus propias preguntas.
Si usted conoce los nombres de los estudiantes, puede decirles “hola” en el pasillo y pedirles, por sus nombres, en la clase, que respondan una pregunta. Pese a que ello puede intimidarlos, si usted hace una pregunta a cada estudiante cada una o dos semanas, rápidamente aprenderán que no están siendo interrogados selectivamente. Generalmente no acepto un “no sé” como respuesta a una pregunta, ello me lleva a efectuar una pregunta relacionada mas sencilla que les ayude a descubrir la respuesta a la pregunta original. Cuando los estudiantes alcanzan el hábito de intervenir en clase, habrá mas posibilidades de que le hagan preguntas antes de que usted les efectúe preguntas que ellos no puedan contestar. Por supuesto, la manera como usted maneja las preguntas es crítica. Usted puede ser suficientemente afortunado si todas las preguntas que le efectúen sean esclarecedoras y le lleven a Ud. al próximo tópico, pero no cuente con ello. Ud. puede sufrir si toma cada pregunta como seria y merecedora de una respuesta sesuda. Los estudiantes sólo preguntarán si se sienten razonablemente confortables al hacerlo y sus indicaciones de que toda pregunta es admitida les ayudará a sentirse confortables sobre el hábito de preguntar aun cuando ellos no puedan saber cuales preguntas son “tontas”. Pero por el hecho de que alguien haga una pregunta no por ello daré una respuesta simple y directa. Prefiero tomar la pregunta como un punto de comienzo para una discusión de lo que ellos entienden y no entienden sobre la situación.
En lugar de hablar más sobre mis secretos, deseo hablar largamente sobre el papel del Algebra Lineal en el curriculum y las oportunidades que ofrece para enseñar. Una buena amiga mía me dice que enseñar ecuaciones diferenciales es mucho más atractivo e interesante; ello es probablemente cierto, para ella. Para mí, bien pensado, el álgebra lineal se ha tornado en el foco de mi trabajo instruccional y tener ésto como foco a sido crítico para mi desarrollo como profesor; yo les urjo a hallar el lugar correcto en el cual desarrollar sus capacidades docentes que les permitirán dar las mejores contribuciones en su institución.
Un poco de historia
Enseñé álgebra lineal en el primer semestre que estuve en un salón del college y la mayoría de los semestres desde entonces. Al principio esto fue accidental, pero después, cuando comencé a considerar los asuntos curriculares involucrados, me dí cuenta que el álgebra lineal juega un papel central en el currículo tanto para estudiantes de la carrera de Matemáticas como para estudiantes de carreras orientadas a las matemáticas, por lo tanto quise enseñarla frecuentemente.
Hay una tendencia a creer que la estructura de las matemáticas , con la excepción de la reforma del cálculo, y el currículo en matemáticas en el college ha permanecido sin cambios por largo tiempo. Esto está lejos de ser verdad. En efecto, el álgebra lineal, tal como la conocemos hoy, ha existido, comparativamente, por corto tiempo.
Tomé conciencia por primera vez de los cambios que han tenido lugar viendo la película de la Asociación Matemática Americana “Quien mató a los determinantes?” (Hecha por Kenneth O. May en los 60’s, aún antes que Sheldon Axler 1 decidiera que era una Buena idea que los mataran). May documentó como los determinantes florecieron en el siglo 19 con sus conecciones con el estudio de los invariantes y cómo el estudio de los determinantes se tradujo en el álgebra lineal que hoy conocemos, donde los determinantes están lejos de ser el centro del asunto. El Álgebra Lineal no llegó a ser realmente reconocida como un tópico propio hasta alrededor de la década de los 30. Influyeron particularmente en este proceso los libros de de B. L. van der Waerden [9] de 1930 a 1931 y el libro de Garrett Birkhoff and Saunders MacLane [2] de 1941. Ambos eran de “Álgebra Moderna”, mas incluyeron capítulos de álgebra lineal. El historiador Jean-Luc Dorier [5] señala el libro de Paul Halmos [6] Espacios Vectoriales de Dimensión Finita, publicado por primera vez en 1942, como el primer libro de álgebra lineal escrito para pre-graduados. Esto es mucho mas reciente de lo que yo podría inferir hace pocos meses!
En 1936 y 1937 en Harvard, Birkhoff enseñó un curso de algebra que incluyó un tratamiento axiomático de los espacios vectoriales sobre un campo y transformaciones lineales en espacios vectoriales de dimension finita, y entre 1939-1940 MacLane enseñó el mismo curso (vea [8], página 295). En la preparación de esta disertación, revise el catálogo de varios colleges y universidades para determinar cuando se enseñaron los primeros cursos de álgebra lineal a nivel de pregrado. El curso de álgebra lineal por separado se tornó en una parte estándar del currículum de matemáticas del College en los Estados Unidos en los 50s y 60s y algunos colleges y universidades todavía estaban añadiendo el curso a principios de los 70. Se ve que el curso de álgebra lineal que tomé en 1965 en la Universidad de Indiana fue en una de las primeras veces que fue ofrecido allí como un curso regular pese a que, en esa época, yo pensé que quienes estudiaban la carrera de Matemáticas lo habían estado tomando por décadas. Los catálogos mostraban claramente que los cursos de álgebra lineal se habían sacado y separado de los cursos de álgebra abstracta que se habían desarrollado previamente. Esto se reflejó en la naturaleza muy abstracta de los cursos que muchos de nosotros tomamos entonces: en verdad, yo podía probar teoremas sobre determinantes de transformaciones lineales en un espacio vectorial abstracto pero tendría dificultades para hallar el determinante o la inversa de una matriz 4X4! (Subrayado del traductor)
Así, en los pasados mas o menos 40 años, el curso de álgebra lineal se ha tornado de ser un curso abstracto para carreras muy serias, y ha sido modificado como una primera "introducción a la demostración" e "introducción a las matemáticas abstractas” en todas las carreras de Matemáticas, y en muchos lugares se ha tornado ahora en un curso orientado a las matrices para estudiantes de segundo o tercer semestre en una amplia variedad de carreras.
La reforma del curso de Álgebra Lineal
Por qué estoy diciéndoles esto? Yo quiero que ustedes se den cuenta que (a pesar de las actitudes en su departamento) el álgebra lineal no ha sido “siempre” hecha de la manera que se hace ahora, para sugerir que estamos en el medio de una “reforma”, (subrayado del traductor) y para utilizar la historia de la reforma por el momento para señalar donde creo yo que estamos y donde debemos ir.
El primer paso es entender los desarrollos hasta ahora. Yo creo que los primeros cursos nacieron del tratamiento axiomático de las matemáticas que fue común en ese tiempo (subrayado del traductor). El historiador Gregory Moore [8] señala que la axiomatización de los espacios vectoriales fue completada en los 1920 y muchas áreas de las matemáticas tenían sus bases desarrolladas en el primer tercio del siglo 20. Yo pienso que el éxito del método axiomático en esta área y áreas algebraicas relacionadas, tanto como el contenido matemático básico e importante, contribuyeron a que al álgebra abstracta y al álgebra lineal se les diera un lugar prominente en las bases curriculares para carreras donde la matemática tuvieran relevancia y por lo tanto en todas las carreras de Matemáticas.
Pero la fase mas reciente de la reforma tiene un origen diferente: yo creo que se debe al desarrollo y amplia diseminación en la utilización del computador en las áreas que aplican las matemáticas. Seguramente los ingenieros sabían por más de un siglo que muchos problemas podrían ser modelados por sistemas de ecuaciones lineales o como problemas de valores propios. Pero cual debería ser el nudo? Aún en los 1950s, pocos ingenieros tendrían esperanzas de resolver un sistema de 100 ecuaciones con 100 incógnitas; el álgebra lineal era realmente irrelevante! Pero los ingenieros de los 1970s estaban comenzando a utilizar computadores para resolver problemas prácticos utilizando álgebra lineal. Por ejemplo, en 1974, un amigo, estudiante del postgrado de ingeniería civil que trabajaba en modelación de vibraciones en edificios causadas por terremotos me preguntó como podría hallar los valores propios de una matriz 200x200 que fueran cercanos a 12. (Desafortunadamente, en esa época, yo no tenía pistas – la mejor recomendación que pude darle fue hallar todos los 200 y chequear cuales eran los más cercanos a 12; sé más ahora!) En las pasadas dos décadas, las aplicaciones del álgebra lineal a problemas del mundo real han crecido como los hongos. El software de computador Matlab proporciona un buen ejemplo: es uno de los mas populares en aplicaciones de ingeniería y en su “corazón” trata cada problema como un problema de álgebra lineal. Repentinamente a estudiantes a través de toda la universidad se les recomienda tomar un curso de álgebra lineal. (nota del traductor: recuerde que en los Estados Unidos, el currículum es flexible, los cursos se escogen con ayuda del “advisor”). El influjo de estos estudiantes con sus diferentes intereses y, con un más alto porcentaje de la población llegando al college (subrayado del traductor), el influjo de estudiantes que no están tan bien preparados ha forzado a muchos colleges y universidades a cambiar de cursos dominados por pruebas de teoremas sobre espacios vectoriales abstractos a cursos que enfatizan los cómputos matriciales y la teoría que los sustenta. (Subrayado del traductor)
El papel del computador en el salón de clase
El cambio en las audiencias de nuestros cursos de álgebra lineal crea la necesidad, y la oportunidad, para reexaminar nuestra manera de enseñar el tema. Después de todo, la esencia de la enseñanza es ayudar a los estudiantes a aprender el material que ellos necesitan y desean (subrayado del traductor) aprender: con estudiantes diferentes buscando aprender diferente material, debemos esperar un cambio en nuestra manera de enseñar.
Al reflexionar acerca de la manera de enseñar este tema, la primera conclusión a la que debemos llegar es que el álgebra lineal es increíblemente útil en el mundo moderno (subrayado del traductor), probablemente mas útil que cualquier otro curso de matemáticas a nivel del college con la posible excepción del cálculo. Varios de mis antiguos estudiantes me han dicho que el álgebra lineal fue el curso más útil que tomaron en el college y pueden dar ejemplos específicos de por qué lo dicen. Estudiantes que están actualmente en los cursos creen que ese es el caso y la mayoría de los nuevos libros de algebra lineal se enfocan en aplicaciones. Al mismo tiempo que no creo que ésto nos debe forzar a enseñar las aplicaciones, creo que ello nos hace necesario el ser concientes de la aplicabilidad y el cambio que requiere nuestro estilo de enseñanza. No creo que ello nos fuerce a abandonar la teoría, pero nos debe animar a mirar el papel de la teoría en el tema a medida que se aplica.
La segunda conclusión a la que debemos llegar es que ninguna aplicación seria del álgebra lineal sucede sin un computador. Esto debe cambiar la naturaleza de nuestro curso; yo creo que ello es un argumento fuerte para incluir las computaciones como parte del curso. Afortunadamente muchas calculadoras pueden realizar todos los cálculos que se presentan en un primer curso y software tales como Matlab, Maple, y Mathematica pueden hacer eso y más. Necesitamos ser al menos vagamente concientes de las maneras como los computadores efectúan el algebra lineal y cómo eso afecta la manera como abordamos el tema. Por ejemplo, el aborde estandar a los valores y vectores propios, y por años el único que conocí, era hallar el polinomio carcaterístico de la matriz, hallar las raíces del polinomio, y resolver las ecuaciones de vector propio para cada valor propio. Esta manera de abordar el tema no tiene posibilidades para las matrices que se presentan en los problemas prácticos! En verdad, para matrices mayores, es difícil hasta realizar el primer paso de hallar el polinomio característico. Aún así, es todavía importante que los estudiantes entiendan la relación entre el polinomio característico y los valores propios, y el algoritmo QR, un método numérico para encontrar autovalores y autovectores, no es un material apropiado para un primer curso de álgebra lineal. Pero, pese a ello, nuestros estudiantes no deben salir de nuestros cursos pensando que el polinomio característico es la única manera para hallar los autovalores de una matriz.
(Nota del traductor: Este punto de vista fue reconocido por mí mientras como estudiante del post-grado en Matemáticas en la universidad de Texas en 1973, colaboré como “calificador” en el curso que impartía James Daniel, siguiendo el texto de Ben Noble. Por ello, a partir de esa época cambié la orientación que daba a los cursos de Matemáticas que he impartido aún a estudiantes de la carrera de Matemáticas. Se que estos puntos de vista se contraponen a los de muchos colegas, pero como dice el profesor Gilbert Strang del Instituto Tecnológico de Massachussets, razón de más para tener en cuenta sus conceptos, debemos hacer lo que mas convenga a los estudiantes y aquello que a ellos les motive. Este es el enfoque desde los años 70 de la mayoría de los textos americanos de Álgebra Lineal y más aún en el siglo 21 como puede verse en el libro de Carl D. Meyer: Matrix analysis. Aún en textos orientados a estudiantes de matemáticas. No hay que olvidar que ellos serán posiblemente profesores de estudiantes de Ingeniería, economía, etc. Y por lo tanto deben prepararse respecto a las relaciones entre álgebra lineal y los algoritmos para computadores. Creo que la contribución más valiosa de mi texto “Álgebra Lineal en Contexto” que se halla en la Web (www.geocities.com/mialgebralineal) es precisamente abordar el problema del cálculo de autovalores como un problema que se resuelve por transformaciones ortogonales. Llegando hasta la aplicación del algoritmo QR, el cual según el profesor Cowen es apropiado sólo para cursos superiores, asunto en el cual cordialmente difiero.
Lo que estoy realmente argumentando es por una integración efectiva de la computación en el salón de clase. Pese a que no sé como es esto en todas las circunstancias, el dejar el computador fuera del salón de clase no es ciertamente el modo mas efectivo de abordar el tema. Muchos profesores a lo largo del país están trabajando en cómo incorporar la computación efectivamente y las respuestas que se han desarrollado cambiarán con seguridad la estructura de nuestros salones de clase, el cómo enseñaremos, y al final, el como aprenderán nuestros estudiantes. Un punto que merece mención es que los estudiantes de las carreras de Matemáticas tienden a ser mas iletrados en computación que algunos de otras carreras. Una desventaja en los 1990s. Si integramos la computación en los cursos de las carreras de Matemáticas, ellos se graduarán con mayor confianza y mas experiencia útil en computación. Y yo creo que lograremos por ello ser capaces de atraer mas estudiantes a éstas carreras. (Subrayado del traductor)
Al nivel superficial, muchos profesores están de acuerdo con el punto de que después de las técnicas de los cálculos manuales básicos se hayan dominado , es de gran ayuda que los estudiantes utilicen una máquina para efectuar la aritmética. Por una razón, los estudiantes se pueden concentrar en las ideas de esta semana en lugar de estar tratando de efectuar correctamente la aritmética en la solución del sistema lineal relevante.
A un nivel más profundo, pensándolo bien, si el instructor está armado de un computador y un dispositivo de despliegue (display) de tal modo que los estudiantes pueden ver su propio trabajo, el instructor puede realizar cosas que no son posibles en la clase de otra manera. Por ejemplo, al trabajar un ejemplo, yo quiero preguntar a los estudiantes cómo atacar el problema. Si estoy trabajando estrictamente con una pizarra y previamente he preparado mis cálculos, cuando un estudiante propone un enfoque no apropiado, no tendré estos cálculos pre-preparados y no tendré deseo alguno de tomar tiempo de clase para hacerlos en la pizarra: Quedo explicando, quizás de manera no convincente, por qué el ataque propuesto es inapropiado. De otro modo, armado con un computador, estoy usualmente deseando hacer exactamente lo que los estudiantes me dicen que haga: cuando el desatinado intento falle, ellos lo verán como testigos directos en lugar de simplemente tomar mis palabras como garantía, y estarán motivados a participar en un segundo intento. Uno de los papeles del profesor es demostrar procesos inteligentes. Muchas veces el expositor parece ser infalible, sabiendo siempre como resolver cada problema. Los estudiantes no son así- ellos ocasionalmente cometen errores y necesitan saber como reconocerlos como errores y recuperarse de ellos. Ustedes y yo sabemos que en nuestras oficinas no somos perfectos, pero los estudiantes no lo saben. Vemos cuando cometemos un error y hemos aprendido como comenzar de nuevo con un nuevo punto de vista – los estudiantes se beneficiarán al ver como nos recuperamos después de un intento fallido.
Además, tendré mayor interés en chequear los resultados de los cálculos si tengo un computador por que es rápido. Por ejemplo, si el problema nos pide separar un vector z en dos componentes z = w + u de tal manera que w esté en el subespacio M y u sea ortogonal a él, la comprobación proporciona un repaso mental del problema a medida que presionamos las teclas para comprobar que z = w + u , w está en M, y u es ortogonal a M, y ellos pueden repensar qué significan las condiciones. A mi colega Jim McClure le gusta comenzar un cálculo para preguntar luego qué pasará tan pronto el presione la tecla “retorno”. El encuentra que los estudiantes tienen más interés de participar cuando utiliza el computador que cuando él efectúa los cambios en la pizarra. Yo sospecho que los estudiantes se pueden imaginar involucrados en el asunto al observar la pantalla del computador con mayor facilidad que al hacerlo del otro lado del escritorio del instructor.
Algunos profesores piensan con preocupación que al utilizar computadores en un curso de matemáticas convertirá a los estudiantes en presionadores de teclas sin razonamiento. Mientras esto puede ser verdad en algunas circunstancias, es fácil evitarlo en álgebra lineal. Yo pienso por otra parte que el computador se puede utilizar para motivar el aprendizaje de la teoría y para reforzar conceptos. Creo que en álgebra lineal, mas que en cualquier otro curso elemental de los primeros años universitarios, la teoría juega un papel esencial en los cálculos y que la utilización del computador lo puede hacer evidente. Un buen ejemplo es la solución de sistemas lineales. El teorema que los ingenieros llaman el “Principio de superposición” dice que cada solución de un sistema lineal se puede escribir como la suma de una solución particular del sistema y alguna solución del sistema homogéneo relacionado. En el pasado, hallé muchas dificultades para que los estudiantes entendieran y apreciaran este teorema. Matlab tiene un comando "\" que retorna una solución para cualquier sistema, llamada la solución por mínmos cuadrados, y otro comando llamado "null" que retorna una base ortonormal del espacio nulo de la matriz. El programa proporciona a la vez que una razón para entender la teoría, un mecanismo con el cual utilizando el teorema se halla facilmente la solución general de un sistema de ecuaciones. (subrayado del traductor).
Nota del traductor: En lo esencial estoy completamente de acuerdo con lo expresado en el párrafo anterior. Quienes quieren sacar el computador del salón de clase no han estudiado ni reflexionado sobre la historia de la Ciencia. A mi parecer el computador releva al hombre de pasos tediosos y largos en labores que de otra manera serían imposibles de realizar, crea un nuevo universo a veces “virtual” para el cual el hombre creará nuevas matemáticas y plantea nuevos retos para los teóricos de la matemática que somos los más. El apartarse y apartar a los estudiantes de los mismos es negar la importancia fundamental de esta herramienta en el siglo XX y en los albores del siglo XXI.
Además de los ejemplos en solución de problemas, los computadores posibilitan demostraciones "gee whiz" (interjección utilizada para expresar entusiasmo. Nota del traductor)en el salón de clase que pueden estimular la intuición geométrica de los estudiantes. Utilizo regularmente “películas” Matlab en demostraciones de transformaciones lineales del plano y de sus autovalores. También he utilizado películas similares para demostrar el significado geométrico de la Descomposición en Valor Singular en mi curso de post-grado para estudiantes de ingeniería. Actualmente, Roger Lautzenheiser, del instituto de Tecnología Rose-Hulman, y su estudiante Brad North están dando los toques finales a un paquete de demostración para cursos de álgebra lineal. El paquete es denominado Álgebra Lineal Visual. Corre bajo Matlab y posee una interfase suficientemente agradable de tal modo que los estudiantes pueden jugar con la geometría de las transformaciones lineales y sus rangos y espacios nulos y pueden ver el teorema rango-nulidad en acción. Ciertamente su demostración en la Sección de Indiana (de la Sociedad Matemática Americana. Nota del traductor) logró cantidades de "gee whiz's!". El paquete es gratuito y se puede bajar de http://www.rose-hulman.edu/~lautzenh/vla.html.
Además, el computador posibilita efectuar preguntas que involucran asuntos teóricos que son aritméticamente muy complicados para exigir a un estudiante que los efectúe con papel y lápiz. Por ejemplo, muchos estudiantes creen que cada sub-espacio tiene una base especial, preferida y no entienden realmente las implicaciones del hecho de que cada subespacio tiene infinitas bases. Una pregunta que me gusta hacer a los estudiantes para que la resuelvan con el computador es la siguiente:
John y Mary están cursando algebra lineal. Uno de los problemas en una tarea fué hallar el espacio nulo de la matriz A de dimension 4X5. La respuesta de Joh fué que el espacio nulo es generado por (-2, -2, 0, 2, -6), (1, 5, 4, -3, 11), (3, 5, 2, -4, 13), y (0, -2, -2, 1, -4). La respuesta de Mary fué que el espacio nulo es generado por (1, 1, 0, -1, 3), (-2, 0, 2, 1, -2), y (-1, 3, 4, 1, 5). Son sus respuestas consistentes entre sí?
Pienso que la pregunta trae a la luz la idea de que puede haber mas de un conjunto generador para un subespacio en un contexto que tiene significado para los estudiantes y ello requiere que los estudiantes confronten asuntos que son difíciles para ellos como, Cuáles vectores están en el subespacio?. Cuándo dos subespacios son el mismo?
Una manera de abordar este problema es tratar de expresar cada uno de los vectores hallados por Jhon como una combinación lineal de los hallados por Mary. Y viceversa. Las definiciones y primeros teoremas acerca de conjuntos generadores dicen que si cada uno de los vectores hallados por Jhon es combinación lineal de los hallados por Mary, y cada uno de los vectores hallados por Mary es combinación lineal de los hallados por Jhon, entonces los subespacios que ellos describen son el mismo, de otro modo no lo son. A mano, comprobar esto sería increíblemente tedioso, pero con una máquina, es un ejercicio tolerable. Una solución mas sofisticada es hallar el rango de la matriz 5X4 cuyas columnas son los vectores hallados por Jhon y luego hallar el rango de la matriz cuyas columnas están formadas por la unión de todos los vectores hallados por Jhon y Mary. Matlab puede hallar el rango de una matriz con un solo comando, de tal modo que esto es fácil hacerlo en un computador. De otro modo, esta manera de resolverlo requiere que el estudiante realmente entienda cómo los vectores columna están conectados con el rango de una matriz y como la dimensión de subespacios anidados se relacionan con la igualdad de los subespacios.
(Nota del traductor: Aplaudo el ejemplo. Muestra como la práctica reafirma la importancia de la teoría y requiere su utilización selectiva. Teorías que fueron importantes antes, ahora no lo son. Teorías que hasta hace poco parecían secundarias han renacido para atacar nuevos problemas. Tal es el caso del teorema de Gerschgoring sobre la localización de los autovalores de una matriz en círculos del plano complejo con centro en los elementos de la diagonal de la matriz que luego fueron las base y se tuvieron que generalizar teóricamente para estudiar el efecto del error por redondeo producido en los cálculos por los computadores digitales. Quien desee mayor información puede dirigirse al traductor al correo electrónico josearturobarreto@yahoo.com, ya que tuvo el honor de ser dirigido en este tema por Robert Todd Gregory y James W. Daniel en la Universidad de Texas en su tesis de grado “Localization theorems for eigenvalues”)
Muchos estudiantes no tienen idea de como comenzar este problema y muchos tratarán un punto de vista y necesitarán recomenzar cuando se den cuenta que no sirve. El hecho de que los estudiantes tengan acceso a una máquina me lleva a hacer preguntas como esta que pueden requerir varios arranques fallidos y una gran cantidad de aritmética. Yo típicamente prefiero asignar este problema como trabajo para la casa después de que los estudiantes han luchado por resolverlo en clase, y hablan de ambos métodos de solución, utilizando el computador para demostrarlos.
La reforma en algebra lineal es saludable y avanza. En 1993 el Grupo de Estudios en Álgebra Lineal publicó un conjunto de recomendaciones sobre temas apropiados para varias clases de cursos [3] . Pese a que Ud. pueda no estar de acuerdo con todas las recomendaciones, seguramente encontrará su trabajo estimulante e invitando a la reflexión a medida que Ud. diseña su propio curso. El proyecto ATLAST ha desarrollado y publicado un conjunto de proyectos para computador convenientes para los cursos de álgebra lineal [7] y la MAA ha publicado un libro de recursos [4] muy util en la enseñanza del álgebra lineal. Muchos colleges y Universidades están introduciendo un segundo (subrayado del traductor) en algebra lineal porque reconocen la importancia del tema y la falta de adecuación del primer curso para alcanzar las necesidades diversas de los estudiantes. Además, profesores de todo el país están repensando el lugar que debe ocupar el algebra lineal en su curriculum y las mejores maneras para enseñarla. Por ello hubieron tres sesiones en el encuentro de San Diego sobre innovaciones en la enseñanza del álgebra lineal.
Para resumir, creo que el algebra lineal merece un lugar central en el curriculum de la carrera de matemáticas, y para otros estudiantes también (Nota del traductor: lo dice respecto a la especialidad Matemáticas como generalmente se encuentra en las facultades de Ciencias y a otras carreras), porque tiene amplias aplicaciones, porque es un tema en el cual los estudiantes pueden ver, aún sin mucha axiomatización (subrayado del traductor), el desarrollo de teoría matemática sustancial, porque es un tema que proporciona a los estudiantes la oportunidad para ver el papel de esa teoría al hacer los cálculos y al aplicar las matemáticas, y porque proporciona una arena (arena: centro del circo romano o de la plaza de toros. Nota del traductor) vital donde los estudiantes pueden ver la interacción de las matemáticas y los cálculos con máquinas. Creo que la integración de la computación y la matemática teórica es tan natural en álgebra lineal que los estudiantes ( y los profesores!) pueden utilizar su experiencia en álgebra lineal como un punto de partida para buscar una integración similar en otras áreas de las matemáticas. El algebra lineal provee un curso pleno de ideas, con material cuyo aprendizaje y enseñanza proporciona satisfacciones, y es un tema donde ambos, estudiantes y profesores, pueden ser retados a lograr sus mejores resultados. Finalmente, no pienso que estudiantes que llegan como primíparos saben como aprender, en verdad ellos no saben como aprender las matemáticas. Los estudiantes necesitan aprender cómo integrar una comprensión teórica y computacional (subrayado del traductor) de las matemáticas. El aprendizaje del álgebra lineal puede ayudarles a lograrlo:
Los estudiantes que han aprendido cómo aprender el álgebra lineal han aprendido como aprender las matemáticas!
Yo creo que aprender es importante y que el álgebra lineal es uno de mis lugares favoritos para utilizar y mejorar mis capacidades docentes. Por ello estoy agradecido porque mis esfuerzos en la enseñanza son reconocidos por la Asociación Matemática Americana.
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Referencias
[1] Axler, S. "Down with Determinants!" American Mathematical Monthly vol. 102 (1995): 139-154.
[2] Birkhoff, G. and MacLane, S. 1941. A Survey of Modern Algebra. New York, NY: Macmillan.
[3] Carlson, D., Johnson, C. R., Lay, D. C., and Porter, A. D. "The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra." College Mathematics Journal vol. 24 (1993): 41-46.
[4] Carlson, D., Johnson, C. R., Lay, D. C., Porter, A. D., Watkins, A., and Watkins, W., eds. 1997. Resources for Teaching Linear Algebra. Washington, DC: MAA.
[5] Dorier, J. "A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory." Historia Mathematica vol. 22 (1995): 227-261.
[6] Halmos, P. 1942. Finite Dimensional Vector Spaces. Princeton, NJ: Princeton University Press.
[7] Leon, S., Herman, E., and Faulkenberry, R. 1996. ATLAST Computer Exercises for Linear Algebra. Upper Saddle River, NY: Prentice Hall.
[8] Moore, G. "The Axiomatization of Linear Algebra: 1875-1940." Historia Mathematica vol. 22 (1995): 262-303.
[9] van der Waerden, B. L. 1930-31. Moderne Algebra, 2 vols. Berlin, Germany: Springer Verlag.
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Professor Cowen teaches at Purdue University in West Lafayette, Indiana. His e-mail address is cowen@math.purdue.edu.
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MAA Online is edited by Fernando Q. Gouvêa
Prólogo
Prólogo
Motivación
Los seres humanos aprendemos de nuestras experiencias. La vida es un viaje. El viajero debe
admirar el paisaje y aprender de los sucesos del día. Algunos le marcarán para bien. Los sucesos
aún los más negativos tienen su parte positiva. El “Yin” y el “Yang”. El entorno que nos rodea influirá
en nuestras vidas para siempre.
Cada viajero tiene su propia historia y posición ante los sucesos pasados y presentes. Nuestro punto
de vista sobre el aprendizaje y la enseñanza, en el cual encontraremos entusiastas seguidores y
también detractores, descansa en nuestras experiencias del pasado y se nutre de las inmensas
posibilidades de comunicación del presente. Hoy en día el aprendizaje es tan diverso y viene de tan
diversas fuentes que esperamos que nadie, menos nosotros, sea depositario de la verdad: la “única”
verdad.
En esta obra pretendo contribuir a que los estudiantes se “asomen” al avance y desarrollo de las
aplicaciones del álgebra lineal. Presentamos los rudimentos que según muchos autores, pueden ser
comunicados y aprendidos sin mayor dificultad.
Al tratar de simplificar los temas, tomé algunas decisiones, algunas drásticas, respecto al orden,
contenido y alcance de los temas.
Pese a lo natural que generalmente parece, y a lo que es usual, decidí no comenzar como
tradicionalmente se hace con la solución de los sistemas de ecuaciones lineales y su relación con
las matrices. Decidí aplicar un dicho que aprendí de mis progenitores: “dos cucharadas de caldo y
mano a la presa”. Es decir : vamos a la sustancia.
Orientación y contenidos
Este texto de “Álgebra Lineal en Contexto” trata sobre las matrices y sus aplicaciones. Podría
llamarse con mayor propiedad “Las Matrices y sus aplicaciones”, mas sin embargo el término no es
tan popular ni ampliamente aceptado como muchos quisiéramos. Por lo tanto el capítulo 1 presenta
directamente sin ninguna a las matrices y sus operaciones y justifica su importancia con dos
ejemplos: un problema de comunicaciones y las cadenas de Markov. No se anexan muchas de las
aplicaciones elementales a la solución de problemas prácticos ya que en este capítulo no se desea
enseñar aplicaciones, si no las matrices , sus operaciones y las propiedades de las mismas.
He tratado de aplicar el lema: “Si bueno y breve, dos veces bueno”.
En la bibliografía, estudiantes y profesores podrán encontrar excelentes textos y referencias para
suplir todas las “deficiencias”, voluntarias o no, que esta obra presente.
La separación de problemas en subproblemas de menor dimensión, con paso de mensajes, tiene
mucho que ver con la partición de matrices, la cual nos permite presentar además las bases de la
descomposición LU, en el capítulo 2. Se aprovecha para presentar algoritmos iterativos de facil
implementación en un computador.
Quien ha oido hablar de computadores “paralelos” con muchos procesadores, cuyo desarrollo
avanza en sincronía con desarrollos matemáticos, reconoce la importancia de estos dos temas.
Sirva esto para invitar a quienes quieran actualizarse, a revisar los avances y modificaciones, para
cursos avanzados o aplicaciones prácticas, de algoritmos existentes o nuevos, que utilizan las
facilidades de los computadores en paralelo.
En el capítulo 3, aparece el tema que es el capítulo introductorio de muchos textos: solución de
sistemas de ecuaciones lineales. Muchos interrogantes pueden quedar abiertos para el instructor al
terminar este capítulo. Las relaciones entre rango y solubilidad, rango y forma escalonada, relación
entre el sistema no homogéneo y el homogéneo asociado. El instructor que considere estos temas
incompletos puede aportar a sus estudiantes material adicional en el momento que él lo considere
necesario o conveniente. El centro de este capítulo es el método de Gauss.
En este capítulo podría hablarse brevemente a juicio del instructor, lo cual no se hace en el texto, de
error por redondeo o truncamiento, conteo de operaciones, estabilidad y condición y presentar
comparaciones sobre el costo y eficiencia de los métodos presentados.
También en este capítulo se elabora un poco más sobre la fundamental descomposición LU, cuya
importancia teórico práctica es reconocida primordialmente por aquellos que trabajan en métodos
numéricos, la casi totalidad de quienes trabajan en álgebra lineal aplicada; según la sociedad para la
matemática aplicada a la industria, SIAM.
El capítulo 4 trata someramente la teoría de determinantes. El estudio del determinante como una
función multilineal, a partir de la teoría de permutaciones, es sumamente atrayente para los
matemáticos profesionales y aún puede sustituir parte de los temas presentados en este capítulo.
Sin embargo he decidido optar por su desarrollo a través de menores y cofactores. Las
demostraciones de los teoremas palabra que en esta obra obviamos, en lo posible, tanto en
singular como en plural, pese a su aparente sencillez, no están incluidas en este capítulo, en el cual
se dan como verdades sin demostración alguna ya que:
i) Esta obra no pretende demostrar todo lo que afirma.
ii) La brevedad de un semestre universitario nos obliga a sacrificar la profundidad de algunos
temas para poder incluir otros tales como bases, procesos de ortogonalización, autovalores y
autovectores, diagonalización y sus aplicaciones que aparecen en capítulos posteriores.
El capítulos 5 está dedicados a la teoría básica de los vectores, los espacios vectoriales y las
bases. Van desde el caso más sencillo del plano, vectores en R2, pasando por el espacio, vectores
en R3, hasta llegar al caso general de vectores en Rn.
Aquí se introducen los siguientes temas: dependencia e independencia lineal, diagonalización de
matrices, transformaciones semejantes, autovalores y autovectores, transformaciones ortogonales.
Se presenta el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt en el contexto de la solución de
sistemas de ecuaciones lineales por mínimos cuadrados. Aquí podría asignarse a un grupo de
estudiantes un proyecto sobre la condición y las dificultades computacionales del proceso de
ortogonalización de Gram-Schmidt, elaborando y presentando una pequeña monografía con
comentarios y ejemplos, sustentados en una bibliografía.
En cualquier caso ésta es sólo una sugerencia ya que este curso no es de métodos numéricos sino
de álgebra matricial desde un punto de vista de la aritmética exacta.
El capítulo 6 , bajo el título “Regresión Lineal”, presenta la ecuación normal como un método de
solución de problemas de aproximación por mínimos cuadrados que obvia el proceso de
ortogonalización. Sin embargo se sabe que usualmente la solución de este problema por la ecuación
normal lleva a un problema mal condicionado. Un proyecto al respecto puede asignarse a un grupo
de estudiantes.
El capítulo 7 trata sobre la teoría de autovalores y autovectores y la diagonalización de matrices por
medio de transformaciones semejantes. Incluye: diagonalización de matrices, diagonalización por
bloques y la forma de Jordan. Estos temas tratados en profundidad, serían el corazón de un curso
avanzado, especialmente si se le da una orientación hacia los métodos numéricos.
Aquí sólo se dan los rudimentos de lo que sería el preludio de un curso avanzado y las bases para
comprender las aplicaciones que se puedan presentar en cursos específicos de la ingeniería, la
física, la química, la biología, las ecuaciones diferenciales, etc.
Si los estudiantes fuesen de semestres superiores se les podría asignar proyectos sobre
aplicaciones en estos campos o en aspectos computacionales. En cualquier caso podría asignarse
pequeños proyectos monográficos sobre las dificultades de los cálculos que estuviesen
acompañados de las citas a la bibliografía apropiada.
El Apéndice A trata sobre un tema que es ya tradicional en los cursos de álgebra lineal para las
ingenierías, las ciencias económicas y administrativas y otras disciplinas: el método simplex y sus
aplicaciones en la solución de problemas de programación lineal.
He luchado contra la tentación de incluir temas de análisis numérico, de hablar extensivamente de
error por redondeo o truncamiento, de la estabilidad de los algoritmos, de la condición de los
problemas. Al mantener el texto básico como un texto de matemática exacta, me propongo que
pueda ser utilizado por todo tipo de instructor, formado o no en análisis numérico matricial y lo que
es fundamental, que pueda ser dictado a cualquier nivel.
Este texto puede ser utilizado en un primer o segundo semestre ya que temas como la solución de
sistemas de ecuaciones lineales, los determinantes y las matrices, que están ligados con algoritmos
básicos en donde se aplican los conceptos de listas y tablas, se requieren a mas tardar en un
segundo semestre. Por ello el texto no asume conocimientos de calculo diferencial o matemáticas
universitarias.
Con las adiciones respectivas puede ser dictado en paralelo a cursos avanzados de matemáticas o
física en semestres superiores, Invitamos al instructor a complementar esta obra con compendios,
ejercicios y proyectos que lo adecuen al nivel y contenido que corresponde al curso y tipo de
estudiante que asiste al mismo.
Esta obra está dirigida primordialmente a estudiantes de Ingeniería, ciencias aplicadas,
administración y economía, entre otros, mas sin embargo, no presenta a profundidad aplicaciones
específicas para alguna de estas ciencias. No aparecen ni vigas, ni fuerzas, o problemas de
dinámica, estática, o electricidad para ingenieros ( salvo la breve mención de la aplicación a la
solución de problemas de redes eléctricas utilizando las reglas del nodo y de la malla, en el capítulo
3), ni el modelo de entrada- salida de Leontief para economistas, etc. , ya que este texto no quiere
dejar de ser de matemática básica y temo que se confunda con una colección de aplicaciones que
aleje a los estudiantes de la sustancia.
Sin embargo, la presentación por parte del instructor de aplicaciones adecuadas a la formación
académica de los estudiantes, en su propia disciplina o por lo menos en relación con el currículo de
su carrera es altamente deseable y por ello se anima al instructor a compendiar la obra con sus
propios suplementos que añadan un sabor “personal” a su curso.
Como lo señalé antes, el texto en sí no quiere apartarse de un enfoque básico que sirva de
esqueleto para muchos tipos de curso de acuerdo a la proyección que le dé el instructor. No se
pretende por ejemplo, en el texto, discutir a profundidad sobre la conveniencia o no del método de
Gauss-Jordan, o del costo del cálculo de la matriz inversa. Sin embargo el instructor podría por su
cuenta introducir a los estudiantes a temas tales como el error por redondeo o truncamiento, o
utilizar cálculos con calculadoras con uno o dos decimales de precisión, comparando los resultados
exactos, aún de los ejemplos dados en el texto con los obtenidos en estas condiciones.
Algoritmos sencillos basados en los métodos presentados por el curso podrían codificarse en un
lenguaje accesible a los estudiantes para utilizarlos en matrices bien o mal condicionadas respecto
al problema, sacadas de ejemplos tomados de la internet o de otros textos, aún los de la bibliografía.
Si los estudiantes o el instructor tiene conocimientos de Mathemática, MatLab, Mapple, Derive u
otro paquete similar, se podrían presentar ejemplos suplementarios respecto a la estabilidad del
algoritmo o la condición del problema. Se podría en este caso asignar proyectos de este tipo que
den a los estudiantes la oportunidad de investigar y desarrollar temas de manera independiente,
frente a sus compañeros.
El objetivo de la enseñanza, creo, es más el desarrollo de la capacidad de razonamiento
independiente que el conocimiento profundo de los conceptos propios de la materia, los cuales
tienden a olvidarse con el tiempo, en especial si no se aplican como sucede en la mayoría de los
casos.
Nadie sabe cual posición le corresponderá desempeñar como profesional. Quienes se dedicarán a la
utilización profesional de los conocimientos específicos de su disciplina, los llamados técnicos, serán
pocos. La mayoría tendrán que desarrollar sus aptitudes en temas diversos propios de las ofertas de
empleo, que no están relacionados directamente con los contenidos de la enseñanza universitaria.
La seguridad en si mismos, la capacidad de interactuar y comunicarse con otros, la posibilidad de
liderar proyectos, la responsabilidad y en general la capacidad de razonamiento independiente que
es lo que la sociedad siempre requiere depende más de su propia participación en clase, no importa
que sea de ética o de matemáticas y de la capacitación que le da su participación,
independientemente o en grupo, en actividades intelectuales, proyectos, etc.
Quien quiere superar la marca de velocidad de los 100 metros tiene que ejercitarse
convenientemente, el que dirige es el instructor, mas si el corredor no se ejercita en su preparación y
sólo se esfuerza el instructor no se llegará a ninguna parte. Es el ejercicio intelectual el que prepara.
No basta con ver a otros ejercitarse para ganar la carrera. Por ello, no sería tan arriesgado y quizás
muy gratificante, preferiblemente en acuerdo con los estudiantes, si estos sinceramente desarrollan,
sin trampas, ejercicios y proyectos que influyan en su calificación.
Propongo, que el instructor enseñe los rudimentos del tema sólo con el fin de propiciar la
participación de los estudiantes. Reconozco que en este terreno, como en toda innovación, se corren
riesgos. Podría hablarse brevemente del método de Gauss, facilitar la comprensión del tema por
medio de ejemplos y comentarios y asignar proyectos breves.
Un grupo de estudiantes podría hablar por ejemplo sobre algún método iterativo o de refinamiento
como el de Gauss-Seidel, para hallar soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, el cual no se
presenta en este texto. Lo mismo sucede con temas que se encuentran en textos bien conocidos de
la bibliografía que no se cubren en esta primera edición.
El problema del rango.
El rango de las matrices influye directamente sobre las aplicaciones en casi todo tipo de problemas.
Si la matriz del sistema es cuadrada y de rango completo, el sistema tiene solución única. Una
matriz cuadrada es regular ( inversible ) si y sólo sí es de rango completo. El número de “grados de
libertad” en un sistema de ecuaciones lineales con solución es igual a n – r, donde n es el número
de incógnitas y r es el rango de la matriz de los coeficientes.
La regla de Cramer sólo es aplicable en el caso de que la matriz cuadrada de los coeficientes sea
de rango completo.
En muchos casos es conveniente hallar una base de un subespacio. Si se toma un conjunto v 1 , v 2 ,
... , v k , de vectores generadores de un subespacio, se puede lograr una base efectuando un
proceso similar al de Gauss sobre las columnas de la matriz V cuyas columnas son precisamente los
vectores v 1 , v 2 , ... , v k o al aplicar procesos similares al de Gauss a las filas de la matriz V T,
hallando una base w 1 , w 2 , ... , w r , en donde r ≤ k, es precisamente el rango de V.
Motivación
Los seres humanos aprendemos de nuestras experiencias. La vida es un viaje. El viajero debe
admirar el paisaje y aprender de los sucesos del día. Algunos le marcarán para bien. Los sucesos
aún los más negativos tienen su parte positiva. El “Yin” y el “Yang”. El entorno que nos rodea influirá
en nuestras vidas para siempre.
Cada viajero tiene su propia historia y posición ante los sucesos pasados y presentes. Nuestro punto
de vista sobre el aprendizaje y la enseñanza, en el cual encontraremos entusiastas seguidores y
también detractores, descansa en nuestras experiencias del pasado y se nutre de las inmensas
posibilidades de comunicación del presente. Hoy en día el aprendizaje es tan diverso y viene de tan
diversas fuentes que esperamos que nadie, menos nosotros, sea depositario de la verdad: la “única”
verdad.
En esta obra pretendo contribuir a que los estudiantes se “asomen” al avance y desarrollo de las
aplicaciones del álgebra lineal. Presentamos los rudimentos que según muchos autores, pueden ser
comunicados y aprendidos sin mayor dificultad.
Al tratar de simplificar los temas, tomé algunas decisiones, algunas drásticas, respecto al orden,
contenido y alcance de los temas.
Pese a lo natural que generalmente parece, y a lo que es usual, decidí no comenzar como
tradicionalmente se hace con la solución de los sistemas de ecuaciones lineales y su relación con
las matrices. Decidí aplicar un dicho que aprendí de mis progenitores: “dos cucharadas de caldo y
mano a la presa”. Es decir : vamos a la sustancia.
Orientación y contenidos
Este texto de “Álgebra Lineal en Contexto” trata sobre las matrices y sus aplicaciones. Podría
llamarse con mayor propiedad “Las Matrices y sus aplicaciones”, mas sin embargo el término no es
tan popular ni ampliamente aceptado como muchos quisiéramos. Por lo tanto el capítulo 1 presenta
directamente sin ninguna a las matrices y sus operaciones y justifica su importancia con dos
ejemplos: un problema de comunicaciones y las cadenas de Markov. No se anexan muchas de las
aplicaciones elementales a la solución de problemas prácticos ya que en este capítulo no se desea
enseñar aplicaciones, si no las matrices , sus operaciones y las propiedades de las mismas.
He tratado de aplicar el lema: “Si bueno y breve, dos veces bueno”.
En la bibliografía, estudiantes y profesores podrán encontrar excelentes textos y referencias para
suplir todas las “deficiencias”, voluntarias o no, que esta obra presente.
La separación de problemas en subproblemas de menor dimensión, con paso de mensajes, tiene
mucho que ver con la partición de matrices, la cual nos permite presentar además las bases de la
descomposición LU, en el capítulo 2. Se aprovecha para presentar algoritmos iterativos de facil
implementación en un computador.
Quien ha oido hablar de computadores “paralelos” con muchos procesadores, cuyo desarrollo
avanza en sincronía con desarrollos matemáticos, reconoce la importancia de estos dos temas.
Sirva esto para invitar a quienes quieran actualizarse, a revisar los avances y modificaciones, para
cursos avanzados o aplicaciones prácticas, de algoritmos existentes o nuevos, que utilizan las
facilidades de los computadores en paralelo.
En el capítulo 3, aparece el tema que es el capítulo introductorio de muchos textos: solución de
sistemas de ecuaciones lineales. Muchos interrogantes pueden quedar abiertos para el instructor al
terminar este capítulo. Las relaciones entre rango y solubilidad, rango y forma escalonada, relación
entre el sistema no homogéneo y el homogéneo asociado. El instructor que considere estos temas
incompletos puede aportar a sus estudiantes material adicional en el momento que él lo considere
necesario o conveniente. El centro de este capítulo es el método de Gauss.
En este capítulo podría hablarse brevemente a juicio del instructor, lo cual no se hace en el texto, de
error por redondeo o truncamiento, conteo de operaciones, estabilidad y condición y presentar
comparaciones sobre el costo y eficiencia de los métodos presentados.
También en este capítulo se elabora un poco más sobre la fundamental descomposición LU, cuya
importancia teórico práctica es reconocida primordialmente por aquellos que trabajan en métodos
numéricos, la casi totalidad de quienes trabajan en álgebra lineal aplicada; según la sociedad para la
matemática aplicada a la industria, SIAM.
El capítulo 4 trata someramente la teoría de determinantes. El estudio del determinante como una
función multilineal, a partir de la teoría de permutaciones, es sumamente atrayente para los
matemáticos profesionales y aún puede sustituir parte de los temas presentados en este capítulo.
Sin embargo he decidido optar por su desarrollo a través de menores y cofactores. Las
demostraciones de los teoremas palabra que en esta obra obviamos, en lo posible, tanto en
singular como en plural, pese a su aparente sencillez, no están incluidas en este capítulo, en el cual
se dan como verdades sin demostración alguna ya que:
i) Esta obra no pretende demostrar todo lo que afirma.
ii) La brevedad de un semestre universitario nos obliga a sacrificar la profundidad de algunos
temas para poder incluir otros tales como bases, procesos de ortogonalización, autovalores y
autovectores, diagonalización y sus aplicaciones que aparecen en capítulos posteriores.
El capítulos 5 está dedicados a la teoría básica de los vectores, los espacios vectoriales y las
bases. Van desde el caso más sencillo del plano, vectores en R2, pasando por el espacio, vectores
en R3, hasta llegar al caso general de vectores en Rn.
Aquí se introducen los siguientes temas: dependencia e independencia lineal, diagonalización de
matrices, transformaciones semejantes, autovalores y autovectores, transformaciones ortogonales.
Se presenta el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt en el contexto de la solución de
sistemas de ecuaciones lineales por mínimos cuadrados. Aquí podría asignarse a un grupo de
estudiantes un proyecto sobre la condición y las dificultades computacionales del proceso de
ortogonalización de Gram-Schmidt, elaborando y presentando una pequeña monografía con
comentarios y ejemplos, sustentados en una bibliografía.
En cualquier caso ésta es sólo una sugerencia ya que este curso no es de métodos numéricos sino
de álgebra matricial desde un punto de vista de la aritmética exacta.
El capítulo 6 , bajo el título “Regresión Lineal”, presenta la ecuación normal como un método de
solución de problemas de aproximación por mínimos cuadrados que obvia el proceso de
ortogonalización. Sin embargo se sabe que usualmente la solución de este problema por la ecuación
normal lleva a un problema mal condicionado. Un proyecto al respecto puede asignarse a un grupo
de estudiantes.
El capítulo 7 trata sobre la teoría de autovalores y autovectores y la diagonalización de matrices por
medio de transformaciones semejantes. Incluye: diagonalización de matrices, diagonalización por
bloques y la forma de Jordan. Estos temas tratados en profundidad, serían el corazón de un curso
avanzado, especialmente si se le da una orientación hacia los métodos numéricos.
Aquí sólo se dan los rudimentos de lo que sería el preludio de un curso avanzado y las bases para
comprender las aplicaciones que se puedan presentar en cursos específicos de la ingeniería, la
física, la química, la biología, las ecuaciones diferenciales, etc.
Si los estudiantes fuesen de semestres superiores se les podría asignar proyectos sobre
aplicaciones en estos campos o en aspectos computacionales. En cualquier caso podría asignarse
pequeños proyectos monográficos sobre las dificultades de los cálculos que estuviesen
acompañados de las citas a la bibliografía apropiada.
El Apéndice A trata sobre un tema que es ya tradicional en los cursos de álgebra lineal para las
ingenierías, las ciencias económicas y administrativas y otras disciplinas: el método simplex y sus
aplicaciones en la solución de problemas de programación lineal.
He luchado contra la tentación de incluir temas de análisis numérico, de hablar extensivamente de
error por redondeo o truncamiento, de la estabilidad de los algoritmos, de la condición de los
problemas. Al mantener el texto básico como un texto de matemática exacta, me propongo que
pueda ser utilizado por todo tipo de instructor, formado o no en análisis numérico matricial y lo que
es fundamental, que pueda ser dictado a cualquier nivel.
Este texto puede ser utilizado en un primer o segundo semestre ya que temas como la solución de
sistemas de ecuaciones lineales, los determinantes y las matrices, que están ligados con algoritmos
básicos en donde se aplican los conceptos de listas y tablas, se requieren a mas tardar en un
segundo semestre. Por ello el texto no asume conocimientos de calculo diferencial o matemáticas
universitarias.
Con las adiciones respectivas puede ser dictado en paralelo a cursos avanzados de matemáticas o
física en semestres superiores, Invitamos al instructor a complementar esta obra con compendios,
ejercicios y proyectos que lo adecuen al nivel y contenido que corresponde al curso y tipo de
estudiante que asiste al mismo.
Esta obra está dirigida primordialmente a estudiantes de Ingeniería, ciencias aplicadas,
administración y economía, entre otros, mas sin embargo, no presenta a profundidad aplicaciones
específicas para alguna de estas ciencias. No aparecen ni vigas, ni fuerzas, o problemas de
dinámica, estática, o electricidad para ingenieros ( salvo la breve mención de la aplicación a la
solución de problemas de redes eléctricas utilizando las reglas del nodo y de la malla, en el capítulo
3), ni el modelo de entrada- salida de Leontief para economistas, etc. , ya que este texto no quiere
dejar de ser de matemática básica y temo que se confunda con una colección de aplicaciones que
aleje a los estudiantes de la sustancia.
Sin embargo, la presentación por parte del instructor de aplicaciones adecuadas a la formación
académica de los estudiantes, en su propia disciplina o por lo menos en relación con el currículo de
su carrera es altamente deseable y por ello se anima al instructor a compendiar la obra con sus
propios suplementos que añadan un sabor “personal” a su curso.
Como lo señalé antes, el texto en sí no quiere apartarse de un enfoque básico que sirva de
esqueleto para muchos tipos de curso de acuerdo a la proyección que le dé el instructor. No se
pretende por ejemplo, en el texto, discutir a profundidad sobre la conveniencia o no del método de
Gauss-Jordan, o del costo del cálculo de la matriz inversa. Sin embargo el instructor podría por su
cuenta introducir a los estudiantes a temas tales como el error por redondeo o truncamiento, o
utilizar cálculos con calculadoras con uno o dos decimales de precisión, comparando los resultados
exactos, aún de los ejemplos dados en el texto con los obtenidos en estas condiciones.
Algoritmos sencillos basados en los métodos presentados por el curso podrían codificarse en un
lenguaje accesible a los estudiantes para utilizarlos en matrices bien o mal condicionadas respecto
al problema, sacadas de ejemplos tomados de la internet o de otros textos, aún los de la bibliografía.
Si los estudiantes o el instructor tiene conocimientos de Mathemática, MatLab, Mapple, Derive u
otro paquete similar, se podrían presentar ejemplos suplementarios respecto a la estabilidad del
algoritmo o la condición del problema. Se podría en este caso asignar proyectos de este tipo que
den a los estudiantes la oportunidad de investigar y desarrollar temas de manera independiente,
frente a sus compañeros.
El objetivo de la enseñanza, creo, es más el desarrollo de la capacidad de razonamiento
independiente que el conocimiento profundo de los conceptos propios de la materia, los cuales
tienden a olvidarse con el tiempo, en especial si no se aplican como sucede en la mayoría de los
casos.
Nadie sabe cual posición le corresponderá desempeñar como profesional. Quienes se dedicarán a la
utilización profesional de los conocimientos específicos de su disciplina, los llamados técnicos, serán
pocos. La mayoría tendrán que desarrollar sus aptitudes en temas diversos propios de las ofertas de
empleo, que no están relacionados directamente con los contenidos de la enseñanza universitaria.
La seguridad en si mismos, la capacidad de interactuar y comunicarse con otros, la posibilidad de
liderar proyectos, la responsabilidad y en general la capacidad de razonamiento independiente que
es lo que la sociedad siempre requiere depende más de su propia participación en clase, no importa
que sea de ética o de matemáticas y de la capacitación que le da su participación,
independientemente o en grupo, en actividades intelectuales, proyectos, etc.
Quien quiere superar la marca de velocidad de los 100 metros tiene que ejercitarse
convenientemente, el que dirige es el instructor, mas si el corredor no se ejercita en su preparación y
sólo se esfuerza el instructor no se llegará a ninguna parte. Es el ejercicio intelectual el que prepara.
No basta con ver a otros ejercitarse para ganar la carrera. Por ello, no sería tan arriesgado y quizás
muy gratificante, preferiblemente en acuerdo con los estudiantes, si estos sinceramente desarrollan,
sin trampas, ejercicios y proyectos que influyan en su calificación.
Propongo, que el instructor enseñe los rudimentos del tema sólo con el fin de propiciar la
participación de los estudiantes. Reconozco que en este terreno, como en toda innovación, se corren
riesgos. Podría hablarse brevemente del método de Gauss, facilitar la comprensión del tema por
medio de ejemplos y comentarios y asignar proyectos breves.
Un grupo de estudiantes podría hablar por ejemplo sobre algún método iterativo o de refinamiento
como el de Gauss-Seidel, para hallar soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, el cual no se
presenta en este texto. Lo mismo sucede con temas que se encuentran en textos bien conocidos de
la bibliografía que no se cubren en esta primera edición.
El problema del rango.
El rango de las matrices influye directamente sobre las aplicaciones en casi todo tipo de problemas.
Si la matriz del sistema es cuadrada y de rango completo, el sistema tiene solución única. Una
matriz cuadrada es regular ( inversible ) si y sólo sí es de rango completo. El número de “grados de
libertad” en un sistema de ecuaciones lineales con solución es igual a n – r, donde n es el número
de incógnitas y r es el rango de la matriz de los coeficientes.
La regla de Cramer sólo es aplicable en el caso de que la matriz cuadrada de los coeficientes sea
de rango completo.
En muchos casos es conveniente hallar una base de un subespacio. Si se toma un conjunto v 1 , v 2 ,
... , v k , de vectores generadores de un subespacio, se puede lograr una base efectuando un
proceso similar al de Gauss sobre las columnas de la matriz V cuyas columnas son precisamente los
vectores v 1 , v 2 , ... , v k o al aplicar procesos similares al de Gauss a las filas de la matriz V T,
hallando una base w 1 , w 2 , ... , w r , en donde r ≤ k, es precisamente el rango de V.
La enseñanza en contexto
La enseñanza en contexto
La vida es un viaje. El viajero debe observar con cuidado los sucesos del día. La posterior reflexión
sobre el os y su significado le enriquecerá algún día. Para aprender para sí mismo y enseñar a otros.
La reflexión sobre una frase escuchada al memorable bocazas Mohamed Ali ha determinado para
bien o para mal algunas de mis actuaciones. Procuro aplicarla cuando lo creo conveniente. En
alguna etapa de mi vida determinó mi éxito como gerente de mercadeo. Otros, utilizando el método
contrario también tuvieron éxito. Quizás el éxito no está en el método sino en quien lo ejecuta.
He aquí el resultado de algunas de las reflexiones a las cuales nos dedicamos los docentes.
El profesor Guil ermo Restrepo, de la Universidad del Valle, en Cali, Colombia, en donde me inicié
como profesor, en una reunión, hace ya “varios” años, dijo: “hay que crear las redes conceptuales”.
Esa frase como la de Cassius Clay, no se me olvida. Siempre la aplico.
Se refería a que si el estudiante no tiene preconceptos o elementos con los cuales comparar e
interpretar las nuevas realidades, su aprendizaje será más difícil.
Qué significa la guerra para los que nunca han pasado por ella? Y la paz para quienes no la han
conocido?. Por supuesto algo significa, mas el significado depende de los preconceptos.
He ahí la importancia de la biodiversidad. Cada etnia, grupo social o agremiación, interpreta los
eventos a su manera. El o es necesario para producir movimiento. La no existencia de diversidad es
equivalente a la muerte.
El instructor se enriquece de la interpretación que sus estudiantes dan a los temas y viceversa. Por
qué?. Porque los preconceptos del que no conoce, son diferentes a los de quien conoce, o algo
conoce.
Un asunto que se le escapa a un investigador experimentado puede ser reconocido por uno de sus
estudiantes.
Sin embargo, en el salón de clase los elementos nuevos llegan al estudiante a alta velocidad sin
darle tiempo a interpretar los nuevos conceptos. Es por el o que es importante enseñar en contexto.
Que es la enseñanza en contexto?. Que es contexto?..
Empecemos por encontrar una acepción adecuada a lo que queremos expresar.
Pequeño Larousse ilustrado, 1995...
...Hilo de una narración, una historia: el contexto permite adivinar los pasajes oscuros de un autor.
Oxford Learners Pocket Dictionary, 2002....
1. Afirmación, frase, etc., en la cual aparece una palabra.
2. Circunstancias en las cuales sucede un evento.
Webster’s Seventh New Col egiate Dictionary, 1971
1. Las partes de un discurso que rodean una palabra o pasaje las cuales pueden arrojar luz
sobre su significado.
2. Medio ambiente
La enseñanza se asemeja a un proceso de construcción. Por ello cuando hablo de “Álgebra Lineal
en Contexto”, no me refiero a un texto de aplicaciones, sino en el cual se aplican los conceptos en
un entorno reconocible por el estudiante.
Es importante que se construya poco a poco, utilizando el bagaje intelectual que trae el estudiante
de cursos anteriores de álgebra, cálculo, si lo ha cursado, física, etc.
Por el o incluí ejemplos de descomposición de fuerzas en este texto. Quién no ha resuelto problemas
de descomposición de fuerzas?. Que se le hayan olvidado, es otra cosa. Esa es la clase de
aplicación, en un curso básico, a la cual me refiero.
Estas aplicaciones no resuelven necesariamente problemas prácticos o de la vida diaria. Solamente
pretenden dar sentido a los nuevos conceptos. Posiblemente, la mayoría de los estudiantes no
necesitarán este bagaje para triunfar en la vida. Mas sin embargo, se les hará menos pesado y mas
agradable el aprendizaje.
Algunos podrían animarse a alcanzar etapas superiores estudiando aplicaciones prácticas de los
métodos matriciales, o a profundizar en los métodos numéricos, inspirados en los sencil os ejemplos
presentados en el texto. He ahí algunas de las razones por las cuales este texto se denomina
“Introducción al Álgebra Lineal, en Contexto”, con más nombre que pretensión.
He hecho mi mejor esfuerzo para concatenar los temas. Si alguien considera que algo falta, tiene
razón. Siempre falta algo. Ya se irá mejorando en próximas ediciones.
Aclaraciones y Reconocimientos
Aclaraciones y Reconocimientos
Esta obra comenzó a gestarse en 1975, cuando era director del plan de matemáticas de la Facultad
de Ciencias en la Universidad del Valle en Cali, Colombia.
Al reasumir mi labor docente en 1999, después de 25 años de receso y dedicación a diferentes
actividades no docentes, algunas relacionadas con la educación, las más con el mercadeo, encontré
que no se han efectuado cambios sustanciales en el currículo de matemáticas y en especial en el
contenido de los cursos de álgebra lineal, en los últimos 30 años.
Pareciera que la influencia de los computadores digitales, y el avance y disminución relativa de
precios de las calculadoras científicas y graficadoras ha influido poco en las actividades docentes.
Ahora más que nunca las actividades del hombre giran alrededor de la planeación y el diseño. La
frontera entre las disciplinas se va rompiendo. Por el o la educación debe propender porque el
educando sepa lograr diversos objetivos manejando información y conceptos básicos y avanzados.
No es posible saber ni que tipo de problemas deberá resolver en su labor profesional ni con cuáles
herramientas contará, dada la diversidad y vertiginoso desarrol o de las disciplinas y realizaciones
del hombre que giran alrededor de las matemáticas, lo que sí es seguro es que es necesario
desarrol ar su capacidad de razonamiento independiente..
No es el conocimiento de la definición, ni el conocimiento de la fórmula lo que garantiza el éxito
profesional, sino la capacidad para manejar la información y aplicarla en un contexto, quizás
interdisciplinario, para responder a situaciones diversas.
Hay una discusión abierta y un clamor respecto a que deben incorporarse las nuevas tecnologías en
la relación maestro-estudiante. Impedir la utilización de las calculadoras en los salones donde se
enseña matemáticas bajo la excusa de que los estudiantes no aprenderán a trabajar sin el as, cierra
el mundo al salón de clase. Me parece equivalente a estar encendiendo fuego, frotando palos y
arcos como lo hicieron los antiguos aborígenes, quienes ahora, si están a su alcance, utilizan
fósforos, petróleo, y gas, entre otros adelantos.
Lo que sucede es que el hombre debe aspirar ahora a nuevos estadios y su formación y
experiencias educativas deben adecuarse a los tiempos. Favorezco la enseñanza de las
matemáticas, a partir de ciertos niveles de primaria, integrando calculadoras y computadores con
software matemático y capacidad graficadora. También los exámenes a libro abierto, que son un reto
para educadores y educandos ya que no se les preguntarán definiciones, sino descripciones
conceptuales además de inducirlos a resolver problemas en donde las fórmulas, que están en los
textos, son apenas auxiliares para la solución de los mismos.
Esta obra pretende acercar a los educandos con cierta celeridad a los conceptos básicos sobre
matrices y sus casi infinitas aplicaciones en el mundo actual pensando mayormente en los
estudiantes de ingeniería y todos aquellos que tengan que ver con computadores. Los conceptos
mas sencillos del álgebra lineal tienen sorprendentes aplicaciones al cálculo, la solución de
ecuaciones de todo tipo, los sistemas operativos de los computadores, los lenguajes de
programación, la optimización, etc., etc., ..., etc.
Quienes compartan las ideas que subyacen en el párrafo anterior, deberían estar de acuerdo
conmigo en que en la época actual es imperioso, en vía de la brevedad, no abundar en todos los
detal es, como se hace en la enseñanza clásica de las matemáticas. Que algunos deben ser
obviados y dejados a los especialistas y deben ser trasladados a los estudiantes sin abundar en
tediosas demostraciones que ocupan un tiempo precioso, sin caer en excesos por supuesto.
Es necesario avanzar para cubrir tópicos diversos y relacionados. A ello nos obliga la afortunada
diversidad de las matemáticas actuales y sus aplicaciones. Los educadores deben ser conscientes
que hace ya bastante tiempo entramos a la era de la información y las telecomunicaciones y que la
enseñanza de las matemáticas debe adecuarse a los tiempos.
Los capítulo 1 a 4 cubren tópicos casi comunes al bachil erato y el primer año, o semestre,
universitario. Se pueden utilizar en la primera parte de un curso universitario a cualquier nivel y en
casi cualquier disciplina en la cual se utilicen las matrices. Cubren temas clásicos en matrices,
operaciones , solución de sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Contienen aplicaciones
a la solución de sistemas de ecuaciones lineales y a otros tópicos. Se enfatiza en las aplicaciones de
la partición de matrices tema de singular importancia en diferentes situaciones.
Al presentar en mayor detal e la descomposición LU sentamos las bases de los algoritmos que
utilizan los actuales computadores en paralelo. Los cuales justifican su diseño y existencia en tales
tipos de algoritmos.
En el capítulo 5 se estudian los vectores en R2, R3 y Rn. y los conceptos de dependencia e
independencia lineal, los subespacios y su dimensión geométrica. Incluye el proceso de
ortogonalización de Gram-Schmidt y su aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones por
mínimos cuadrados.
El capítulo 6 trata sobre la aplicacion de “ la solución de sistemas de ecuaciones lineales por
mínimos cuadrados”, comúnmente conocida como “Regresión Lineal”. El denso capítulo 7
comprende autovalores y autovectores. Estos temas tienen sorprendentes aplicaciones, algunas
incluidas en el texto: los procesos de ortogonalización y los algoritmos de descomposición. Trata la
descomposición QR y se enfatiza en la diagonalización de matrices por medio de transformaciones
ortogonales y semejantes en el caso general. Se incluye además una asequible presentación de la
descomposición de Jordan y la importancia teórico práctica de la diagonalización por bloques.
Este libro será complementado con temas sugeridos por estudiantes y profesores en la página Web
del autor, parte del proyecto “Álgebra Lineal para Todos”: www.geocities.com/laboticaxx1
Reconocimientos
Los párrafos siguientes se dedican a reconocer los merecimientos de algunos de mis antiguos
profesores y amigos y de las instituciones que me han brindado la oportunidad de ir desarrol ando,
no sólo mi espíritu, sino también este texto.
En una caricatura del genial Quino, aparecen las cabezas de numerosas personas que sobresalen
de otras, en un recinto nublado en donde el aire puro sólo lo respiran quienes logran por lo menos
sacar la nariz sobresaliendo de la nube gaseosa que cubre prácticamente todos los cuerpos. Uno de
las cabezas le pregunta a otra por qué sobresale tanto y aquel a le contesta: “eso depende de sobre
quien estés parado”.
Desgraciadamente, muchos se paran sobre otros para sobresalir, mas tomaré la caricatura en un
sentido que estoy seguro no es precisamente el que quiso transmitir Quino con su estética
mordacidad.
Si siento que me haya superado en algo, con los años, debo reconocer que lo bueno se lo debo a
quienes colaboraron, cada uno a su manera, en mi educación.
Lo que he aprendido para formarme como instructor y poder paladear la bel eza de las matemáticas
se lo debo a muchos profesores. Me prometí a mí mismo desde hace muchos años a citarlos como
ejemplo de calidad y dedicación, en esta oportunidad.
En orden cronológico cito al ya fal ecido profesor Ricardo Villegas en Cali, Colombia, quien hacia
1962 me enseñó por un año matemáticas y física en el penúltimo año de bachillerato en el colegio
Villegas en Cali, Colombia. A partir de ese momento nació mi apego a la belleza del lenguaje de las
matemáticas.
Siguiendo en dicho orden, siempre agradeceré la dedicación del Ingeniero Químico Guil ermo
Obando, quien hacia el año 1963 me enseñó los rudimentos de cálculo diferencial e integral en mi
último año de bachil erato en el colegio oficial Gimnasio del Pacífico, en Tulúa, Val e, población
cercana a Cali, en Colombia. Del profesor Obando recibí conocimientos e imagen de
responsabilidad, y la mas alta calificación del grupo, además del libro de Cálculo de Granville,
obsequio que aprecié en su especial significado, entregado en acto público en la misma ceremonia
en que recibí mi título de bachiller. A veces las aparentemente pequeñas acciones tienen gran
significado. Cuando ingresé a la Universidad del Cauca, en Popayán, a la carrera de Ingeniería Civil
y cuando me trasladé a Bogota, al ser aceptado en la carrera de matemáticas en la Universidad
Nacional de Colombia, cargaba todavía el para mí, preciado libro.
Posteriormente, en la Universidad Nacional de Colombia, el matemático Rafael Suarez me indujo a
continuar mis estudios de matemáticas, los cuales había abandonado para continuar la carrera de
Ingeniería Civil. Como decían mis antiguos condiscípulos del primer año de matemáticas, en plan de
mofa, al verme tomando mediciones en los terrenos de la universidad, había cambiado “la topología”
por “la topografía”. Sin embargo este “paseo” por la facultad de Ingeniería influyó en el modo como
quería aplicar mis conocimientos matemáticos, sin dejar de respetar, apreciar y saborear el
“purismo”.
Mención especial merece el profesor Jairo Alvarez, quien dirigió el plan de matemáticas en el tiempo
en que fui estudiante de pregrado en la Universidad del Valle, en Cali. Tanto su actitud hacia el
desarrol o de los estudiantes, como la calidad de los cursos, en los cuales fue mi profesor estrel a,
merecen la más alta calificación. Posteriormente el profesor Alvarez, como directivo de la
Universidad del Val e siempre mereció mi aprecio, y por ello procuro saber de sus ejecutorias
continuamente.
En el postgrado en la universidad de Texas en Austin fui directamente influenciado por Robert Todd
Gregory, ya fal ecido, quien me acerco a los problemas del análisis numérico del “Problema del valor
propio algebraico” como lo denominó Wilkinson y por James W. Daniel actual director del magíster
en Ciencias Actuariales de dicha universidad., quien no sólo fue codirector de mi tesis de grado
sobre “Localization theorems for eigenvalues”, bajo la dirección de R. T. Gregory. El profesor Daniel
siempre me brindó un cálido trato durante mi período como estudiante graduado en la universidad
de Texas. Aún recuerdo su obsequio del libro “Non Linear Programming” de Mangasarian, el cual es,
por supuesto, ya un clásico del tema.
Con la pretensión de reconocer virtudes no fáciles de encontrar en todos los seres humanos,
agradezco la reciente respuesta, del ya citado profesor Jame W. Daniel y de G.W. Stewart de la
Universidad de Maryland en Col ege Park, a la pregunta que les sometí sobre los textos de álgebra
lineal aplicada de uso actual en los pregrados en los Estados Unidos que, como es lógico, aparecen
incluidos en la bibliografía de este texto.
Al profesor Gilbert Strang del Instituto Tecnológico de Massachusetts le agradezco el obsequio que
me hizo, con su rubrica personal de su libro “Introduction to Linear Álgebra” recientemente editado,
el cual se cita en la bibliografía y que espero sea próximamente traducido al español.
Manifiesto mi reconocimiento a las siguientes instituciones con las cuales me he relacionado de
alguna manera:
1. La universidad Nacional de Colombia en Bogotá, en donde cursé mi primer año de
matemáticas
2. La universidad del Valle en Cali, Colombia, en la cual continué mi formación como
matemático a nivel de pregrado y en donde me gradué en 1970 y fui profesor y director
del plan de estudios de matemáticas hasta mi retiro de la misma en 1977.
3. La Universidad de los Andes, en Mérida, Venezuela, la cual me invitó a vincularme como profesor brindándome la oportunidad de asentarme en Venezuela, donde ha
transcurrido la mayor parte de mi vida. Por circunstancias personales no pude aceptar
su ofrecimiento, ya que me radiqué en Maracaibo.
4. La Universidad del Zulia, en Maracaibo, Venezuela, de la cual fui profesor por algunos
años en el departamento de matemáticas de la facultad de Ciencias.
5. La Universidad Rafael Urdaneta me brindó la oportunidad de dictar cursos de Álgebra Lineal hasta mi traslado hacia 1983 hacia la ciudad de Caracas, en donde me dediqué durante muchos años a actividades privadas, alejadas de la docencia.
6. La Universidad Central del Val e, en Tulúa, Colombia, de la cual fui profesor de
matemáticas y estadística en el segundo semestre del año 2000.
7. La Universidad Fermín Toro en Barquisimeto, Venezuela, la cual me invitó a dictar recientemente un curso de álgebra matricial aplicada a algunos de sus profesores de matemáticas y ha estado colaborando con mis proyectos actuales y en la cual he dictado algunos cursos.
José Arturo Barreto Gutiérrez
Esta obra comenzó a gestarse en 1975, cuando era director del plan de matemáticas de la Facultad
de Ciencias en la Universidad del Valle en Cali, Colombia.
Al reasumir mi labor docente en 1999, después de 25 años de receso y dedicación a diferentes
actividades no docentes, algunas relacionadas con la educación, las más con el mercadeo, encontré
que no se han efectuado cambios sustanciales en el currículo de matemáticas y en especial en el
contenido de los cursos de álgebra lineal, en los últimos 30 años.
Pareciera que la influencia de los computadores digitales, y el avance y disminución relativa de
precios de las calculadoras científicas y graficadoras ha influido poco en las actividades docentes.
Ahora más que nunca las actividades del hombre giran alrededor de la planeación y el diseño. La
frontera entre las disciplinas se va rompiendo. Por el o la educación debe propender porque el
educando sepa lograr diversos objetivos manejando información y conceptos básicos y avanzados.
No es posible saber ni que tipo de problemas deberá resolver en su labor profesional ni con cuáles
herramientas contará, dada la diversidad y vertiginoso desarrol o de las disciplinas y realizaciones
del hombre que giran alrededor de las matemáticas, lo que sí es seguro es que es necesario
desarrol ar su capacidad de razonamiento independiente..
No es el conocimiento de la definición, ni el conocimiento de la fórmula lo que garantiza el éxito
profesional, sino la capacidad para manejar la información y aplicarla en un contexto, quizás
interdisciplinario, para responder a situaciones diversas.
Hay una discusión abierta y un clamor respecto a que deben incorporarse las nuevas tecnologías en
la relación maestro-estudiante. Impedir la utilización de las calculadoras en los salones donde se
enseña matemáticas bajo la excusa de que los estudiantes no aprenderán a trabajar sin el as, cierra
el mundo al salón de clase. Me parece equivalente a estar encendiendo fuego, frotando palos y
arcos como lo hicieron los antiguos aborígenes, quienes ahora, si están a su alcance, utilizan
fósforos, petróleo, y gas, entre otros adelantos.
Lo que sucede es que el hombre debe aspirar ahora a nuevos estadios y su formación y
experiencias educativas deben adecuarse a los tiempos. Favorezco la enseñanza de las
matemáticas, a partir de ciertos niveles de primaria, integrando calculadoras y computadores con
software matemático y capacidad graficadora. También los exámenes a libro abierto, que son un reto
para educadores y educandos ya que no se les preguntarán definiciones, sino descripciones
conceptuales además de inducirlos a resolver problemas en donde las fórmulas, que están en los
textos, son apenas auxiliares para la solución de los mismos.
Esta obra pretende acercar a los educandos con cierta celeridad a los conceptos básicos sobre
matrices y sus casi infinitas aplicaciones en el mundo actual pensando mayormente en los
estudiantes de ingeniería y todos aquellos que tengan que ver con computadores. Los conceptos
mas sencillos del álgebra lineal tienen sorprendentes aplicaciones al cálculo, la solución de
ecuaciones de todo tipo, los sistemas operativos de los computadores, los lenguajes de
programación, la optimización, etc., etc., ..., etc.
Quienes compartan las ideas que subyacen en el párrafo anterior, deberían estar de acuerdo
conmigo en que en la época actual es imperioso, en vía de la brevedad, no abundar en todos los
detal es, como se hace en la enseñanza clásica de las matemáticas. Que algunos deben ser
obviados y dejados a los especialistas y deben ser trasladados a los estudiantes sin abundar en
tediosas demostraciones que ocupan un tiempo precioso, sin caer en excesos por supuesto.
Es necesario avanzar para cubrir tópicos diversos y relacionados. A ello nos obliga la afortunada
diversidad de las matemáticas actuales y sus aplicaciones. Los educadores deben ser conscientes
que hace ya bastante tiempo entramos a la era de la información y las telecomunicaciones y que la
enseñanza de las matemáticas debe adecuarse a los tiempos.
Los capítulo 1 a 4 cubren tópicos casi comunes al bachil erato y el primer año, o semestre,
universitario. Se pueden utilizar en la primera parte de un curso universitario a cualquier nivel y en
casi cualquier disciplina en la cual se utilicen las matrices. Cubren temas clásicos en matrices,
operaciones , solución de sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Contienen aplicaciones
a la solución de sistemas de ecuaciones lineales y a otros tópicos. Se enfatiza en las aplicaciones de
la partición de matrices tema de singular importancia en diferentes situaciones.
Al presentar en mayor detal e la descomposición LU sentamos las bases de los algoritmos que
utilizan los actuales computadores en paralelo. Los cuales justifican su diseño y existencia en tales
tipos de algoritmos.
En el capítulo 5 se estudian los vectores en R2, R3 y Rn. y los conceptos de dependencia e
independencia lineal, los subespacios y su dimensión geométrica. Incluye el proceso de
ortogonalización de Gram-Schmidt y su aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones por
mínimos cuadrados.
El capítulo 6 trata sobre la aplicacion de “ la solución de sistemas de ecuaciones lineales por
mínimos cuadrados”, comúnmente conocida como “Regresión Lineal”. El denso capítulo 7
comprende autovalores y autovectores. Estos temas tienen sorprendentes aplicaciones, algunas
incluidas en el texto: los procesos de ortogonalización y los algoritmos de descomposición. Trata la
descomposición QR y se enfatiza en la diagonalización de matrices por medio de transformaciones
ortogonales y semejantes en el caso general. Se incluye además una asequible presentación de la
descomposición de Jordan y la importancia teórico práctica de la diagonalización por bloques.
Este libro será complementado con temas sugeridos por estudiantes y profesores en la página Web
del autor, parte del proyecto “Álgebra Lineal para Todos”: www.geocities.com/laboticaxx1
Reconocimientos
Los párrafos siguientes se dedican a reconocer los merecimientos de algunos de mis antiguos
profesores y amigos y de las instituciones que me han brindado la oportunidad de ir desarrol ando,
no sólo mi espíritu, sino también este texto.
En una caricatura del genial Quino, aparecen las cabezas de numerosas personas que sobresalen
de otras, en un recinto nublado en donde el aire puro sólo lo respiran quienes logran por lo menos
sacar la nariz sobresaliendo de la nube gaseosa que cubre prácticamente todos los cuerpos. Uno de
las cabezas le pregunta a otra por qué sobresale tanto y aquel a le contesta: “eso depende de sobre
quien estés parado”.
Desgraciadamente, muchos se paran sobre otros para sobresalir, mas tomaré la caricatura en un
sentido que estoy seguro no es precisamente el que quiso transmitir Quino con su estética
mordacidad.
Si siento que me haya superado en algo, con los años, debo reconocer que lo bueno se lo debo a
quienes colaboraron, cada uno a su manera, en mi educación.
Lo que he aprendido para formarme como instructor y poder paladear la bel eza de las matemáticas
se lo debo a muchos profesores. Me prometí a mí mismo desde hace muchos años a citarlos como
ejemplo de calidad y dedicación, en esta oportunidad.
En orden cronológico cito al ya fal ecido profesor Ricardo Villegas en Cali, Colombia, quien hacia
1962 me enseñó por un año matemáticas y física en el penúltimo año de bachillerato en el colegio
Villegas en Cali, Colombia. A partir de ese momento nació mi apego a la belleza del lenguaje de las
matemáticas.
Siguiendo en dicho orden, siempre agradeceré la dedicación del Ingeniero Químico Guil ermo
Obando, quien hacia el año 1963 me enseñó los rudimentos de cálculo diferencial e integral en mi
último año de bachil erato en el colegio oficial Gimnasio del Pacífico, en Tulúa, Val e, población
cercana a Cali, en Colombia. Del profesor Obando recibí conocimientos e imagen de
responsabilidad, y la mas alta calificación del grupo, además del libro de Cálculo de Granville,
obsequio que aprecié en su especial significado, entregado en acto público en la misma ceremonia
en que recibí mi título de bachiller. A veces las aparentemente pequeñas acciones tienen gran
significado. Cuando ingresé a la Universidad del Cauca, en Popayán, a la carrera de Ingeniería Civil
y cuando me trasladé a Bogota, al ser aceptado en la carrera de matemáticas en la Universidad
Nacional de Colombia, cargaba todavía el para mí, preciado libro.
Posteriormente, en la Universidad Nacional de Colombia, el matemático Rafael Suarez me indujo a
continuar mis estudios de matemáticas, los cuales había abandonado para continuar la carrera de
Ingeniería Civil. Como decían mis antiguos condiscípulos del primer año de matemáticas, en plan de
mofa, al verme tomando mediciones en los terrenos de la universidad, había cambiado “la topología”
por “la topografía”. Sin embargo este “paseo” por la facultad de Ingeniería influyó en el modo como
quería aplicar mis conocimientos matemáticos, sin dejar de respetar, apreciar y saborear el
“purismo”.
Mención especial merece el profesor Jairo Alvarez, quien dirigió el plan de matemáticas en el tiempo
en que fui estudiante de pregrado en la Universidad del Valle, en Cali. Tanto su actitud hacia el
desarrol o de los estudiantes, como la calidad de los cursos, en los cuales fue mi profesor estrel a,
merecen la más alta calificación. Posteriormente el profesor Alvarez, como directivo de la
Universidad del Val e siempre mereció mi aprecio, y por ello procuro saber de sus ejecutorias
continuamente.
En el postgrado en la universidad de Texas en Austin fui directamente influenciado por Robert Todd
Gregory, ya fal ecido, quien me acerco a los problemas del análisis numérico del “Problema del valor
propio algebraico” como lo denominó Wilkinson y por James W. Daniel actual director del magíster
en Ciencias Actuariales de dicha universidad., quien no sólo fue codirector de mi tesis de grado
sobre “Localization theorems for eigenvalues”, bajo la dirección de R. T. Gregory. El profesor Daniel
siempre me brindó un cálido trato durante mi período como estudiante graduado en la universidad
de Texas. Aún recuerdo su obsequio del libro “Non Linear Programming” de Mangasarian, el cual es,
por supuesto, ya un clásico del tema.
Con la pretensión de reconocer virtudes no fáciles de encontrar en todos los seres humanos,
agradezco la reciente respuesta, del ya citado profesor Jame W. Daniel y de G.W. Stewart de la
Universidad de Maryland en Col ege Park, a la pregunta que les sometí sobre los textos de álgebra
lineal aplicada de uso actual en los pregrados en los Estados Unidos que, como es lógico, aparecen
incluidos en la bibliografía de este texto.
Al profesor Gilbert Strang del Instituto Tecnológico de Massachusetts le agradezco el obsequio que
me hizo, con su rubrica personal de su libro “Introduction to Linear Álgebra” recientemente editado,
el cual se cita en la bibliografía y que espero sea próximamente traducido al español.
Manifiesto mi reconocimiento a las siguientes instituciones con las cuales me he relacionado de
alguna manera:
1. La universidad Nacional de Colombia en Bogotá, en donde cursé mi primer año de
matemáticas
2. La universidad del Valle en Cali, Colombia, en la cual continué mi formación como
matemático a nivel de pregrado y en donde me gradué en 1970 y fui profesor y director
del plan de estudios de matemáticas hasta mi retiro de la misma en 1977.
3. La Universidad de los Andes, en Mérida, Venezuela, la cual me invitó a vincularme como profesor brindándome la oportunidad de asentarme en Venezuela, donde ha
transcurrido la mayor parte de mi vida. Por circunstancias personales no pude aceptar
su ofrecimiento, ya que me radiqué en Maracaibo.
4. La Universidad del Zulia, en Maracaibo, Venezuela, de la cual fui profesor por algunos
años en el departamento de matemáticas de la facultad de Ciencias.
5. La Universidad Rafael Urdaneta me brindó la oportunidad de dictar cursos de Álgebra Lineal hasta mi traslado hacia 1983 hacia la ciudad de Caracas, en donde me dediqué durante muchos años a actividades privadas, alejadas de la docencia.
6. La Universidad Central del Val e, en Tulúa, Colombia, de la cual fui profesor de
matemáticas y estadística en el segundo semestre del año 2000.
7. La Universidad Fermín Toro en Barquisimeto, Venezuela, la cual me invitó a dictar recientemente un curso de álgebra matricial aplicada a algunos de sus profesores de matemáticas y ha estado colaborando con mis proyectos actuales y en la cual he dictado algunos cursos.
José Arturo Barreto Gutiérrez
Algebra lineal
Quisiera comunicar ideas acerca de la enseñanza de las matemáticas, en especial a nivel universitario. Mi punto de vista es que las llamadas matemáticas finitas, con el advenimiento de los computadores digitales son ahora mas importantes, en cuanto a aplicaciones que el Cálculo. No puedo decir que estudios teóricos en estas disciplinas no sean o importantes. Lo son: pero para post graduados y especialistas
Regularmente se ha empleado la geometría para explicar resultados algebraicos, ya que muchos de estos resultados son generalizaciones de temas que tienen que ver con espacios físicos en 2 o más dimensiones. Es decir en alguna época comenzó a tener relevancia el álgebra, la cual en cierto sentido se modeló a partir de la geometría.
Posteriormente, el sustento algebraico de aspectos geométricos permitió generalizaciones. Los espacios vectoriales con sus propiedades algebraicas nacen de los vectores en espacios de 2 o más dimensiones.
En algún momento se decía que quien no conociera los "elementos" de Geometría de Euclides era menos que un ........... Luego alguno de los grandes matemáticos despreciaba todo lo que no fuese algebraico.
Mi opinión es que la geometría entendida como un modelo físico ha sido ampliamente superada por el álgebra y las llamadas matemáticas finitas, las cuales se representan mas facilmente en un computador, tornándose en relaciones entre cantidades u objetos. Desafortunadamente la universidades siguen centradas en cursos básicos tradicionales y casi todas las matemáticas que enseñan están desligadas del mundo de los computadores, no por que no los utilicen, si no porque los computadores transladan todos los problemas en términos de matemáticas finitas. Están mas cerca del álgebra que de la geometría, en cuanto manipulan cantidades y símbolos. Las matemáticas finitas están poco representadas en el currículum universitario.
Regularmente se ha empleado la geometría para explicar resultados algebraicos, ya que muchos de estos resultados son generalizaciones de temas que tienen que ver con espacios físicos en 2 o más dimensiones. Es decir en alguna época comenzó a tener relevancia el álgebra, la cual en cierto sentido se modeló a partir de la geometría.
Posteriormente, el sustento algebraico de aspectos geométricos permitió generalizaciones. Los espacios vectoriales con sus propiedades algebraicas nacen de los vectores en espacios de 2 o más dimensiones.
En algún momento se decía que quien no conociera los "elementos" de Geometría de Euclides era menos que un ........... Luego alguno de los grandes matemáticos despreciaba todo lo que no fuese algebraico.
Mi opinión es que la geometría entendida como un modelo físico ha sido ampliamente superada por el álgebra y las llamadas matemáticas finitas, las cuales se representan mas facilmente en un computador, tornándose en relaciones entre cantidades u objetos. Desafortunadamente la universidades siguen centradas en cursos básicos tradicionales y casi todas las matemáticas que enseñan están desligadas del mundo de los computadores, no por que no los utilicen, si no porque los computadores transladan todos los problemas en términos de matemáticas finitas. Están mas cerca del álgebra que de la geometría, en cuanto manipulan cantidades y símbolos. Las matemáticas finitas están poco representadas en el currículum universitario.
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