Prólogo

Prólogo
Motivación


Los seres humanos aprendemos de nuestras experiencias. La vida es un viaje. El viajero debe
admirar el paisaje y aprender de los sucesos del día. Algunos le marcarán para bien. Los sucesos
aún los más negativos tienen su parte positiva. El “Yin” y el “Yang”. El entorno que nos rodea influirá
en nuestras vidas para siempre.

Cada viajero tiene su propia historia y posición ante los sucesos pasados y presentes. Nuestro punto
de vista sobre el aprendizaje y la enseñanza, en el cual encontraremos entusiastas seguidores y
también detractores, descansa en nuestras experiencias del pasado y se nutre de las inmensas
posibilidades de comunicación del presente. Hoy en día el aprendizaje es tan diverso y viene de tan
diversas fuentes que esperamos que nadie, menos nosotros, sea depositario de la verdad: la “única”
verdad.

En esta obra pretendo contribuir a que los estudiantes se “asomen” al avance y desarrollo de las
aplicaciones del álgebra lineal. Presentamos los rudimentos que según muchos autores, pueden ser
comunicados y aprendidos sin mayor dificultad.

Al tratar de simplificar los temas, tomé algunas decisiones, algunas drásticas, respecto al orden,
contenido y alcance de los temas.

Pese a lo natural que generalmente parece, y a lo que es usual, decidí no comenzar como
tradicionalmente se hace con la solución de los sistemas de ecuaciones lineales y su relación con
las matrices. Decidí aplicar un dicho que aprendí de mis progenitores: “dos cucharadas de caldo y
mano a la presa”. Es decir : vamos a la sustancia.

Orientación y contenidos
Este texto de “Álgebra Lineal en Contexto” trata sobre las matrices y sus aplicaciones. Podría
llamarse con mayor propiedad “Las Matrices y sus aplicaciones”, mas sin embargo el término no es
tan popular ni ampliamente aceptado como muchos quisiéramos. Por lo tanto el capítulo 1 presenta
directamente sin ninguna a las matrices y sus operaciones y justifica su importancia con dos
ejemplos: un problema de comunicaciones y las cadenas de Markov. No se anexan muchas de las
aplicaciones elementales a la solución de problemas prácticos ya que en este capítulo no se desea
enseñar aplicaciones, si no las matrices , sus operaciones y las propiedades de las mismas.

He tratado de aplicar el lema: “Si bueno y breve, dos veces bueno”.

En la bibliografía, estudiantes y profesores podrán encontrar excelentes textos y referencias para
suplir todas las “deficiencias”, voluntarias o no, que esta obra presente.

La separación de problemas en subproblemas de menor dimensión, con paso de mensajes, tiene
mucho que ver con la partición de matrices, la cual nos permite presentar además las bases de la
descomposición LU, en el capítulo 2. Se aprovecha para presentar algoritmos iterativos de facil
implementación en un computador.

Quien ha oido hablar de computadores “paralelos” con muchos procesadores, cuyo desarrollo
avanza en sincronía con desarrollos matemáticos, reconoce la importancia de estos dos temas.
Sirva esto para invitar a quienes quieran actualizarse, a revisar los avances y modificaciones, para
cursos avanzados o aplicaciones prácticas, de algoritmos existentes o nuevos, que utilizan las
facilidades de los computadores en paralelo.

En el capítulo 3, aparece el tema que es el capítulo introductorio de muchos textos: solución de
sistemas de ecuaciones lineales. Muchos interrogantes pueden quedar abiertos para el instructor al
terminar este capítulo. Las relaciones entre rango y solubilidad, rango y forma escalonada, relación
entre el sistema no homogéneo y el homogéneo asociado. El instructor que considere estos temas
incompletos puede aportar a sus estudiantes material adicional en el momento que él lo considere
necesario o conveniente. El centro de este capítulo es el método de Gauss.

En este capítulo podría hablarse brevemente a juicio del instructor, lo cual no se hace en el texto, de
error por redondeo o truncamiento, conteo de operaciones, estabilidad y condición y presentar
comparaciones sobre el costo y eficiencia de los métodos presentados.

También en este capítulo se elabora un poco más sobre la fundamental descomposición LU, cuya
importancia teórico práctica es reconocida primordialmente por aquellos que trabajan en métodos
numéricos, la casi totalidad de quienes trabajan en álgebra lineal aplicada; según la sociedad para la
matemática aplicada a la industria, SIAM.

El capítulo 4 trata someramente la teoría de determinantes. El estudio del determinante como una
función multilineal, a partir de la teoría de permutaciones, es sumamente atrayente para los
matemáticos profesionales y aún puede sustituir parte de los temas presentados en este capítulo.
Sin embargo he decidido optar por su desarrollo a través de menores y cofactores. Las
demostraciones de los teoremas palabra que en esta obra obviamos, en lo posible, tanto en
singular como en plural, pese a su aparente sencillez, no están incluidas en este capítulo, en el cual
se dan como verdades sin demostración alguna ya que:

i) Esta obra no pretende demostrar todo lo que afirma.
ii) La brevedad de un semestre universitario nos obliga a sacrificar la profundidad de algunos
temas para poder incluir otros tales como bases, procesos de ortogonalización, autovalores y
autovectores, diagonalización y sus aplicaciones que aparecen en capítulos posteriores.






El capítulos 5 está dedicados a la teoría básica de los vectores, los espacios vectoriales y las
bases. Van desde el caso más sencillo del plano, vectores en R2, pasando por el espacio, vectores
en R3, hasta llegar al caso general de vectores en Rn.

Aquí se introducen los siguientes temas: dependencia e independencia lineal, diagonalización de
matrices, transformaciones semejantes, autovalores y autovectores, transformaciones ortogonales.

Se presenta el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt en el contexto de la solución de
sistemas de ecuaciones lineales por mínimos cuadrados. Aquí podría asignarse a un grupo de
estudiantes un proyecto sobre la condición y las dificultades computacionales del proceso de
ortogonalización de Gram-Schmidt, elaborando y presentando una pequeña monografía con
comentarios y ejemplos, sustentados en una bibliografía.

En cualquier caso ésta es sólo una sugerencia ya que este curso no es de métodos numéricos sino
de álgebra matricial desde un punto de vista de la aritmética exacta.

El capítulo 6 , bajo el título “Regresión Lineal”, presenta la ecuación normal como un método de
solución de problemas de aproximación por mínimos cuadrados que obvia el proceso de
ortogonalización. Sin embargo se sabe que usualmente la solución de este problema por la ecuación
normal lleva a un problema mal condicionado. Un proyecto al respecto puede asignarse a un grupo
de estudiantes.

El capítulo 7 trata sobre la teoría de autovalores y autovectores y la diagonalización de matrices por
medio de transformaciones semejantes. Incluye: diagonalización de matrices, diagonalización por
bloques y la forma de Jordan. Estos temas tratados en profundidad, serían el corazón de un curso
avanzado, especialmente si se le da una orientación hacia los métodos numéricos.

Aquí sólo se dan los rudimentos de lo que sería el preludio de un curso avanzado y las bases para
comprender las aplicaciones que se puedan presentar en cursos específicos de la ingeniería, la
física, la química, la biología, las ecuaciones diferenciales, etc.

Si los estudiantes fuesen de semestres superiores se les podría asignar proyectos sobre
aplicaciones en estos campos o en aspectos computacionales. En cualquier caso podría asignarse
pequeños proyectos monográficos sobre las dificultades de los cálculos que estuviesen
acompañados de las citas a la bibliografía apropiada.

El Apéndice A trata sobre un tema que es ya tradicional en los cursos de álgebra lineal para las
ingenierías, las ciencias económicas y administrativas y otras disciplinas: el método simplex y sus
aplicaciones en la solución de problemas de programación lineal.

He luchado contra la tentación de incluir temas de análisis numérico, de hablar extensivamente de
error por redondeo o truncamiento, de la estabilidad de los algoritmos, de la condición de los
problemas. Al mantener el texto básico como un texto de matemática exacta, me propongo que
pueda ser utilizado por todo tipo de instructor, formado o no en análisis numérico matricial y lo que
es fundamental, que pueda ser dictado a cualquier nivel.


Este texto puede ser utilizado en un primer o segundo semestre ya que temas como la solución de
sistemas de ecuaciones lineales, los determinantes y las matrices, que están ligados con algoritmos
básicos en donde se aplican los conceptos de listas y tablas, se requieren a mas tardar en un
segundo semestre. Por ello el texto no asume conocimientos de calculo diferencial o matemáticas
universitarias.

Con las adiciones respectivas puede ser dictado en paralelo a cursos avanzados de matemáticas o
física en semestres superiores, Invitamos al instructor a complementar esta obra con compendios,
ejercicios y proyectos que lo adecuen al nivel y contenido que corresponde al curso y tipo de
estudiante que asiste al mismo.

Esta obra está dirigida primordialmente a estudiantes de Ingeniería, ciencias aplicadas,
administración y economía, entre otros, mas sin embargo, no presenta a profundidad aplicaciones
específicas para alguna de estas ciencias. No aparecen ni vigas, ni fuerzas, o problemas de
dinámica, estática, o electricidad para ingenieros ( salvo la breve mención de la aplicación a la
solución de problemas de redes eléctricas utilizando las reglas del nodo y de la malla, en el capítulo
3), ni el modelo de entrada- salida de Leontief para economistas, etc. , ya que este texto no quiere
dejar de ser de matemática básica y temo que se confunda con una colección de aplicaciones que
aleje a los estudiantes de la sustancia.

Sin embargo, la presentación por parte del instructor de aplicaciones adecuadas a la formación
académica de los estudiantes, en su propia disciplina o por lo menos en relación con el currículo de
su carrera es altamente deseable y por ello se anima al instructor a compendiar la obra con sus
propios suplementos que añadan un sabor “personal” a su curso.

Como lo señalé antes, el texto en sí no quiere apartarse de un enfoque básico que sirva de
esqueleto para muchos tipos de curso de acuerdo a la proyección que le dé el instructor. No se
pretende por ejemplo, en el texto, discutir a profundidad sobre la conveniencia o no del método de
Gauss-Jordan, o del costo del cálculo de la matriz inversa. Sin embargo el instructor podría por su
cuenta introducir a los estudiantes a temas tales como el error por redondeo o truncamiento, o
utilizar cálculos con calculadoras con uno o dos decimales de precisión, comparando los resultados
exactos, aún de los ejemplos dados en el texto con los obtenidos en estas condiciones.

Algoritmos sencillos basados en los métodos presentados por el curso podrían codificarse en un
lenguaje accesible a los estudiantes para utilizarlos en matrices bien o mal condicionadas respecto
al problema, sacadas de ejemplos tomados de la internet o de otros textos, aún los de la bibliografía.

Si los estudiantes o el instructor tiene conocimientos de Mathemática, MatLab, Mapple, Derive u
otro paquete similar, se podrían presentar ejemplos suplementarios respecto a la estabilidad del
algoritmo o la condición del problema. Se podría en este caso asignar proyectos de este tipo que
den a los estudiantes la oportunidad de investigar y desarrollar temas de manera independiente,
frente a sus compañeros.

El objetivo de la enseñanza, creo, es más el desarrollo de la capacidad de razonamiento
independiente que el conocimiento profundo de los conceptos propios de la materia, los cuales
tienden a olvidarse con el tiempo, en especial si no se aplican como sucede en la mayoría de los
casos.



Nadie sabe cual posición le corresponderá desempeñar como profesional. Quienes se dedicarán a la
utilización profesional de los conocimientos específicos de su disciplina, los llamados técnicos, serán
pocos. La mayoría tendrán que desarrollar sus aptitudes en temas diversos propios de las ofertas de
empleo, que no están relacionados directamente con los contenidos de la enseñanza universitaria.

La seguridad en si mismos, la capacidad de interactuar y comunicarse con otros, la posibilidad de
liderar proyectos, la responsabilidad y en general la capacidad de razonamiento independiente que
es lo que la sociedad siempre requiere depende más de su propia participación en clase, no importa
que sea de ética o de matemáticas y de la capacitación que le da su participación,
independientemente o en grupo, en actividades intelectuales, proyectos, etc.

Quien quiere superar la marca de velocidad de los 100 metros tiene que ejercitarse
convenientemente, el que dirige es el instructor, mas si el corredor no se ejercita en su preparación y
sólo se esfuerza el instructor no se llegará a ninguna parte. Es el ejercicio intelectual el que prepara.
No basta con ver a otros ejercitarse para ganar la carrera. Por ello, no sería tan arriesgado y quizás
muy gratificante, preferiblemente en acuerdo con los estudiantes, si estos sinceramente desarrollan,
sin trampas, ejercicios y proyectos que influyan en su calificación.

Propongo, que el instructor enseñe los rudimentos del tema sólo con el fin de propiciar la
participación de los estudiantes. Reconozco que en este terreno, como en toda innovación, se corren
riesgos. Podría hablarse brevemente del método de Gauss, facilitar la comprensión del tema por
medio de ejemplos y comentarios y asignar proyectos breves.

Un grupo de estudiantes podría hablar por ejemplo sobre algún método iterativo o de refinamiento
como el de Gauss-Seidel, para hallar soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, el cual no se
presenta en este texto. Lo mismo sucede con temas que se encuentran en textos bien conocidos de
la bibliografía que no se cubren en esta primera edición.

El problema del rango.

El rango de las matrices influye directamente sobre las aplicaciones en casi todo tipo de problemas.
Si la matriz del sistema es cuadrada y de rango completo, el sistema tiene solución única. Una
matriz cuadrada es regular ( inversible ) si y sólo sí es de rango completo. El número de “grados de
libertad” en un sistema de ecuaciones lineales con solución es igual a n – r, donde n es el número
de incógnitas y r es el rango de la matriz de los coeficientes.

La regla de Cramer sólo es aplicable en el caso de que la matriz cuadrada de los coeficientes sea
de rango completo.

En muchos casos es conveniente hallar una base de un subespacio. Si se toma un conjunto v 1 , v 2 ,
... , v k , de vectores generadores de un subespacio, se puede lograr una base efectuando un
proceso similar al de Gauss sobre las columnas de la matriz V cuyas columnas son precisamente los
vectores v 1 , v 2 , ... , v k o al aplicar procesos similares al de Gauss a las filas de la matriz V T,
hallando una base w 1 , w 2 , ... , w r , en donde r ≤ k, es precisamente el rango de V.